Question

[Nguyễn Tiến Đạt]

cho 3 số nguyên dương \(0\le x\le y\le z\)\(\le1\).CM/r:

\(\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le2\)

Answer 1

[Girl]

Ta có:

\(0\le x\le y\le z\le1\Leftrightarrow\left(1-x\right)\left(1-y\right)\ge0\)

\(\Rightarrow1-y-x+xy\ge0\Leftrightarrow1+xy\ge x+y\)(1)

Tiếp tục chứng minh:

\(\hept{\begin{cases}0\le x\le y\Leftrightarrow xy\ge0\\1\ge z\end{cases}}\) (2)

Cộng theo vế của (1) và (2) ta có:\(2\left(xy+1\right)\ge x+y+z\)

trở lại bài toán: \(\frac{z}{xy+1}=\frac{2z}{2\left(xy+1\right)}\le\frac{2z}{x+y+z}\)

CHứng minh tương tự: \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{yz+1}\le\frac{2x}{x+y+z}\\\frac{y}{xz+1}\le\frac{2y}{x+y+z}\end{cases}}\)

Cộng theo vế ta có đpcm

Answer 2

[Tran Le Khanh Linh]

Vì \(0\le x\le y\le z\le1\Rightarrow x-1\le0;y-1\le0\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\Rightarrow xy+1\ge x+y\Rightarrow\frac{1}{xy+1}\le\frac{1}{x+y}\)

\(\Rightarrow\frac{z}{xy+1}\le\frac{z}{x+y}\left(1\right)\)

Chứng minh tương tự ta được \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{yz+1}\le\frac{x}{y+z}\left(2\right)\\\frac{y}{xz+1}\le\frac{y}{z+x}\left(3\right)\end{cases}}\)

Cộng từng vế của (1)(2)(3) ta có:

\(\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\left(4\right)\)

Mà \(\frac{x}{y+z}\le\frac{x+x}{x+y+z}\Rightarrow\frac{x}{y+z}\le\frac{2x}{x+y+z}\)

Chứng minh tương tự được \(\hept{\begin{cases}\frac{y}{x+z}\le\frac{2y}{x+y+z}\\\frac{z}{x+y}\le\frac{2z}{x+y+z}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\le\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\left(5\right)\)

(4)(5) => đpcm