Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
mình đánh nhầm, đề là cho a,b,c là các số thực dương tổng bằng 1
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được
\(\frac{a^3}{a+2b}+\frac{b^3}{b+2c}+\frac{c^3}{c+2a}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Ta lại có \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)
Do đó ta được \(\frac{a^3}{a+2b}+\frac{b^3}{b+2c}+\frac{c^3}{c+2a}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
p/s: check
tạm thời chưa nghĩ ra cách dùng \(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2=ab\left(a+b\right)\) :'<
Có: \(\sqrt[3]{4\left(a^3+b^3\right)}=\sqrt[3]{2\left(a+b\right)\left(2a^2-2ab+2b^2\right)}\)
\(=\sqrt[3]{2\left(a+b\right)\left[\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{2}\left(a-b\right)^2\right]}=\sqrt[3]{2\left(a+b\right)\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2}=a+b\)
Tương tự cộng lại ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
ư ư.. ra r :))))))))) cộng thêm Cauchy-Schwarz nữa nhé
Có: \(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\)\(\Leftrightarrow\)\(2\left(a^3+b^3\right)\ge a^3+b^3+a^2b+ab^2=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Rightarrow\)\(\sqrt[3]{4\left(a^3+b^3\right)}\ge\sqrt[3]{2\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\sqrt[3]{2\left(a+b\right).\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=a+b\)
Tương tự cộng lại ra đpcm
\(P=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-\frac{4-6\sqrt{a}}{1-a}-\frac{-3}{\sqrt{a}+1}\)
ĐK : \(\hept{\begin{cases}a\ge0\\a\ne1\end{cases}}\)
a) \(P=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}+\frac{4-6\sqrt{a}}{a-1}+\frac{3}{\sqrt{a}+1}\)
\(=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}+\frac{4-6\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}+\frac{3}{\sqrt{a}+1}\)
\(=\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}+\frac{4-6\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}+\frac{3\left(\sqrt{a}-1\right)}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\)
\(=\frac{a+\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}+\frac{4-6\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}+\frac{3\sqrt{a}-3}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\)
\(=\frac{a+\sqrt{a}+4-6\sqrt{a}+3\sqrt{a}-3}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\)
\(=\frac{a-2\sqrt{a}+1}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}=\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}\)
Với \(a=4-2\sqrt{3}\)( tmđk \(\hept{\begin{cases}a\ge0\\a\ne1\end{cases}}\))
\(P=\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}-1}{\sqrt{4-2\sqrt{3}}+1}\)
\(=\frac{\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}-1}{\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}+1}\)
\(=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2-2\sqrt{3}+1^2}-1}{\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2-2\sqrt{3}+1^2}+1}\)
\(=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}-1}{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}+1}\)
\(=\frac{\left|\sqrt{3}-1\right|-1}{\left|\sqrt{3}-1\right|+1}\)
\(=\frac{\sqrt{3}-1-1}{\sqrt{3}-1+1}=\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}}\)
b) \(P=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}=\frac{\sqrt{a}+1-2}{\sqrt{a}+1}=1-\frac{2}{\sqrt{a}+1}\)( ĐK \(\hept{\begin{cases}a\ge0\\a\ne1\end{cases}}\))
Để P đạt giá trị nguyên => \(\frac{2}{\sqrt{a}+1}\)nguyên
=> \(2⋮\sqrt{a}+1\)
=> \(\sqrt{a}+1\inƯ\left(2\right)=\left\{\pm1;\pm2\right\}\)
=> \(\sqrt{a}\in\left\{0;1\right\}\)< đã loại hai trường hợp âm >
=> \(a\in\left\{0\right\}\)< loại trường hợp a = 1 >
Vậy với a = 0 thì P có giá trị nguyên
ap dung bdt am gm
\(\sqrt{1+8a^3}=\sqrt{\left(1+2a\right)\left(4a^2-4a+1\right)}\)\(\le\frac{1+2a+4a^2-2a+1}{2}=\frac{4a^2+2}{2}=2a^2+1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1+8a^3}}\ge\frac{1}{2a^2+1}\)
tuongtu ta cung co \(\frac{1}{\sqrt{1+8b^3}}\ge\frac{1}{2b^2+1};\frac{1}{\sqrt{1+8c^3}}\ge\frac{1}{2c^2+1}\)
\(\Rightarrow\)VT\(\ge\frac{1}{2a^2+1}+\frac{1}{2b^2+1}+\frac{1}{2c^2+1}\)
tiep tuc ap dung bat cauchy-schwarz dang engel ta co
\(VT\ge\frac{1}{2a^2+1}+\frac{1}{2b^2+1}+\frac{1}{2c^2+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}=\frac{3^2}{6+3}=1\)(dpcm)
dau = xay ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Đề thi Olympic 30/4 Môn Toán 2018 lần thứ XXIV
Vài dòng đầu tớ chứng minh BĐT phụ bạn có thể làm trực tiếp luôn nhé ! Dùng phương pháp tiếp tuyến là OK thôi !
Ta dễ có các biến đổi sau:
\(\sqrt{a^2-a+1}\left(a^2+a+1\right)=\sqrt{\left(a^2-a+1\right)\left(a^2+a+1\right)\left(a^2+a+1\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a^4+a^2+1\right)\left(a^2+a+1\right)}\)
\(=\sqrt{\left[\left(a^2+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]\left[\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]}\)
\(\ge\left(a^2+\frac{1}{2}\right)\left(a+\frac{1}{2}\right)+\frac{3}{4}\)
\(=\frac{2a^3+a^2+a+2}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2-a+1}\ge\frac{2a^3+a^2+a+2}{2\left(a^2+a+1\right)}=a-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\left(\frac{1}{a^2+a+1}\right)\)
Chứng minh tương tự ta có được các bất đẳng thức sau:
\(\sqrt{b^2-b+1}=b-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{b^2+b+1};\sqrt{c^2-c+1}=c-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{c^2+c+1}\)
Như vậy ta cần chứng minh \(\frac{1}{a^2+a+1}+\frac{1}{b^2+b+1}+\frac{1}{c^2+c+1}\ge1\) với abc = 1
Đây là BĐT Vacs quen thuộc !!!! Bạn làm câu hỏi của mình có câu trả lời của tth_new có dùng Vacs và mình đã làm rồi nha !!!!!
Do \(ab+bc+ac=3abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số \(\frac{1}{a};\frac{2}{b};\frac{3}{c}\) , ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=\frac{1}{a}+\frac{4}{2b}+\frac{9}{3c}\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{a+2b+3c}=\frac{36}{a+2b+3c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+2b+3c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\right)\left(1\right)\)
CMTT , ta có : \(\frac{1}{2a+3b+c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{1}{c}\right)\); \(\frac{1}{3a+b+2c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{3}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\right)\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 )
\(\Rightarrow F\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}+\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{1}{c}+\frac{3}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\right)\)
\(=\frac{1}{36}.6\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{6}.3=\frac{1}{2}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Bạn Khôi Bùi làm đúng đó