Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(BDT\Leftrightarrow\frac{a^3}{\left(1-a\right)^2}+\frac{b^3}{\left(1-b\right)^2}+\frac{c^3}{\left(1-c\right)^2}\ge\frac{1}{4}\)
Ta có BĐT phụ: \(\frac{a^3}{\left(1-a\right)^2}\ge a-\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(3a-1\right)^2}{4\left(a-1\right)^2}\ge0\forall0< a\le\frac{1}{3}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(\frac{b^3}{\left(1-b\right)^2}\ge b-\frac{1}{4};\frac{c^3}{\left(1-c\right)^2}\ge c-\frac{1}{4}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\left(a+b+c\right)-\frac{1}{4}\cdot3=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}=VP\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Áp dụng BĐT cô si ta có:
\(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}+\frac{1a}{4}\ge\frac{a^2}{b+c}\)\(,\frac{b^3}{\left(c+a\right)^2}+\frac{1b}{4}\ge\frac{b^2}{a+c},\frac{c^3}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1c}{4}\ge\frac{c^2}{a+b}\)
Cộng lại ta có
\(VT\ge\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\left(đpcm\right)\)
Dấu =tự tìm Ok
Câu 1: a)
b) Áp dụng Bđt Holder ta có:
\(\Rightarrow9\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}=\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\)(đpcm)
Dấu = khi a=b=c
Câu 2:
Áp dụng Bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)ta có:
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{a+b+1+1}=\frac{4}{3}\)(Đpcm)
Dấu = khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Câu 3:
Áp dụng Bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\left(a+b+c=1\right)\)(Đpcm)
Dấu = khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Câu 4: nghĩ sau
Sửa đề: CMR \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\geq \frac{3}{2}\)
Đặt biểu thức đã cho là $P$
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(P=a-\frac{ab^2}{1+b^2}+b-\frac{bc^2}{1+c^2}+c-\frac{ca^2}{1+a^2}=(a+b+c)-\left(\frac{ab^2}{1+b^2}+\frac{bc^2}{1+c^2}+\frac{ca^2}{1+a^2}\right)\)
\(\geq (a+b+c)-\left(\frac{ab^2}{2b}+\frac{bc^2}{2c}+\frac{ca^2}{2a}\right)=a+b+c-\frac{ab+bc+ac}{2}\)
Mà cũng theo BĐT AM-GM
\(3(a+b+c)=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\)
\(\Rightarrow a+b+c\geq ab+bc+ac\)
Do đó: \(P\geq a+b+c-\frac{ab+bc+ac}{2}\geq a+b+c-\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{a^2+b^2}=x\\\sqrt{b^2+c^2}=y\\\sqrt{c^2+a^2}=z\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z=1\end{cases}}\)
Và \(\hept{\begin{cases}a^2=\frac{x^2+z^2-y^2}{2}\\b^2=\frac{x^2+y^2-z^2}{2}\\c^2=\frac{y^2+z^2-x^2}{2}\end{cases}}\) và \(\hept{\begin{cases}b+c\le\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}=\sqrt{2}y\\a+b\le\sqrt{2}x\\c+a\le\sqrt{2}z\end{cases}}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{x^2+z^2-y^2}{y}+\frac{x^2+y^2-z^2}{2z}+\frac{y^2+z^2-x^2}{x}\right)\)
\(\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}-\left(x+y+z\right)\right)\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(x+y+z\right)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số:
\(3\sqrt[3]{\left(1-a^2\right)\left(1-a^2\right)2a^2}\le\left(1-a^2\right)+\left(1-a^2\right)+2a^2\)
\(\Leftrightarrow\left(1-a^2\right)\left(1-a^2\right)2a^2\le\left(\frac{\left(1-a^2\right)+\left(1-a^2\right)+2a^2}{3}\right)^3=\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}\)
\(\Leftrightarrow\left(1-a^2\right)^2a^2\le\frac{4}{27}\Rightarrow\left(1-a^2\right)a\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\Leftrightarrow\frac{a}{1-a^2}\ge\frac{3\sqrt{3}a^2}{2}\)
Tương tự rồi cộng hai vế, ta có:
\(VT\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Dấu = <=> \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Với a, b, c dương thỏa mãn a + b + c = 3, ta có: \(\Sigma\frac{a}{ab+1}=\Sigma\left(a-\frac{a^2b}{ab+1}\right)\ge3-\Sigma\frac{a^2b}{2\sqrt{ab}}\)
\(=3-\frac{1}{2}\Sigma\sqrt{a^3b}\)
Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3\left(a^3b+b^3c+c^3a\right)\)
Đặt \(\left(a^2+bc-ab;b^2+ca-bc;c^2+ab-ca\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)
Áp dụng BĐT quen thuộc sau: \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\), ta được:
(*)
(Mình gõ bằng chương trình Universal Math Solver, không hiện ảnh thì vô thống kê hỏi đáp của mình, chiều ngày 31/5/2020)
Khai triển VP của BĐT (*), ta được biểu thức: \(3\left(a^3b+b^3c+c^3a\right)\)
Vậy ta được \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3\left(a^3b+b^3c+c^3a\right)\)
Áp dụng, ta được: \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(\sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a}\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a}\le3\)\(\Rightarrow3-\frac{1}{2}\left(\sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a}\right)\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
hay \(\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\ge\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
sửa lại
\(A=\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\)
\(=a-\frac{ab^2}{1+b^2}+b-\frac{bc^2}{1+c^2}+c-\frac{ca^2}{1+a^2}\)
áp dụng bđt cauchy ta có:
\(b^2+1\ge2b;c^2+1\ge2c;a^2+1\ge2a\)
\(\Rightarrow a-\frac{ab^2}{1+b^2}+b-\frac{bc^2}{1+c^2}+c-\frac{ca^2}{1+a^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}+b-\frac{bc^2}{2b}+c-\frac{ca^2}{2a}\)
\(=a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\)
áp dụng cauchy ta có:
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Rightarrow ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3\)
\(\Rightarrow a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\left(Q.E.D\right)\)
dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
đặt \(A=\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}+b-\frac{bc^2}{1+c^2}+c-\frac{ca^2}{1+a^2}\)
\(=\left(a+b+c\right)-\left(\frac{ab^2}{b^2+1}+\frac{bc^2}{c^2+1}+\frac{ca^2}{a^2+1}\right)\le3-\left(\frac{ab^2}{2b}+\frac{bc^2}{2c}+\frac{ca^2}{2a}\right)=3-\left(\frac{ab+bc+ca}{2}\right)\ge3-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{6}=\frac{3}{2}\left(Q.E.D\right)\)