Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải :
Đặt \(\hept{\begin{cases}a+2b+c=x\\a+b+2c=y\\a+b+3c=z\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-x+5y-3z\\b=x-2y+z\\c=z-y\end{cases}}\)
Thay vào P ta được :
\(P=\frac{-x+5y-3z+3z-3y}{x}+\frac{4x-8y+4z}{y}+\frac{-8z+8y}{z}\)
\(P=-1+\frac{2y}{x}+\frac{4x}{y}-8+\frac{4z}{y}-8+\frac{8y}{z}\)
\(P=-17+\left(\frac{2y}{x}+\frac{4x}{y}\right)+\left(\frac{4z}{y}+\frac{8y}{z}\right)\)
Áp dụng BĐT Cô-si :
\(P\ge-17+2\sqrt{\frac{2y\cdot4x}{x\cdot y}}+2\sqrt{\frac{4z\cdot8y}{x\cdot z}}\)
\(=-17+2\sqrt{8}+2\sqrt{32}\)
\(=-17+12\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{2y}{x}=\frac{4x}{y}\\\frac{4z}{y}=\frac{8y}{z}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x^2=y^2\\z^2=2y^2\end{cases}}\)
Thay a,b,c vào tìm ra dấu "=" nhé. Khá dài và phức tạp đấy.
Đặt \(x=a+b+2c;y=2a+b+c;z=a+b+3c\left(x,y,z>0\right)\)
Từ đó tính được: \(\hept{\begin{cases}a=z+y-2x\\b=5x-y-3z\\c=z-x\end{cases}}\)
Lúc đó \(A=\frac{4\left(z+y-2x\right)}{x}+\frac{\left(5x-y-3z\right)+3\left(z-x\right)}{y}-\frac{8\left(z-x\right)}{z}\)
\(=\frac{4z+4y}{x}-8+\frac{2x}{y}-1+\frac{8x}{z}-8\)
\(=\left(\frac{4y}{x}+\frac{2x}{y}\right)+\left(\frac{4z}{x}+\frac{8x}{z}\right)-17\)
\(\ge2\sqrt{\frac{4y}{x}.\frac{2x}{y}}+2\sqrt{\frac{4z}{x}.\frac{8x}{z}}-17=12\sqrt{2}-17\)(Theo BĐT Cô - si cho 2 số dương)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{4y}{x}=\frac{2x}{y}\\\frac{4z}{x}=\frac{8x}{z}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\sqrt{2}\\z=x\sqrt{2}=2y\end{cases}}\Leftrightarrow\frac{z}{2}=\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{y}{1}\)
Đặt \(\frac{z}{2}=\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{y}{1}=k\left(k>0\right)\)thì \(\hept{\begin{cases}z=2k\\x=\sqrt{2}k\\y=k\end{cases}}\). Lúc đó \(\hept{\begin{cases}a=\left(3-2\sqrt{2}\right)k\\b=\left(5\sqrt{2}-7\right)k\\c=\left(2-\sqrt{2}\right)k\end{cases}}\)
Vậy \(MinA=12\sqrt{2}-17\), đạt được khi \(\hept{\begin{cases}a=\left(3-2\sqrt{2}\right)k\\b=\left(5\sqrt{2}-7\right)k\\c=\left(2-\sqrt{2}\right)k\end{cases}}\left(k>0\right)\)
P = 4a + 7b + 10c + \(\frac{4}{a}+\frac{1}{4b}+\frac{1}{9c}\)
P = \(3\left(a+2b+3c\right)+\left(a+\frac{4}{a}\right)+\left(b+\frac{1}{4b}\right)+\left(c+\frac{1}{9c}\right)\)
\(\ge3.4+2\sqrt{a.\frac{4}{a}}+2\sqrt{b.\frac{1}{4b}}+2\sqrt{c.\frac{1}{9c}}=\frac{53}{3}\)
Vây GTNN của P là \(\frac{53}{3}\)khi \(a=1;b=\frac{1}{2};c=\frac{1}{3}\)
Đề quá xấu!
Đặt \(x=12\sqrt{2}-17\). Chứng minh \(A\ge x\). Tìm điểm rơi giúp em cái đã rồi em suy nghĩ tiếp chứ tình hình này là thua rồi:))
Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}\)
\(a^2b^2c^2+\left(a+1\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge a+b+c+ab+bc+ca+3\)
\(\Leftrightarrow\left(abc\right)^2+abc-2\ge0\Leftrightarrow\left(abc+2\right)\left(abc-1\right)\ge0\Leftrightarrow abc\ge1\)
Áp dụng BĐT Cosi ta có:
\(\frac{a^3}{\left(b+2c\right)\left(2c+3a\right)}+\frac{b+2c}{45}+\frac{2c+3a}{75}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(b+2c\right)\left(2c+3b\right)}\cdot\frac{b+2c}{45}\cdot\frac{2c+3a}{75}}=\frac{a}{5}\left(1\right)\)
Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{b^3}{\left(c+2a\right)\left(2a+3b\right)}+\frac{c+2a}{45}+\frac{2a+3b}{75}\ge\frac{b}{5}\left(2\right)\\\frac{c^3}{\left(a+2b\right)\left(2b+3c\right)}+\frac{a+2b}{45}+\frac{2b+3c}{75}\ge\frac{c}{5}\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ (1)(2)(3) ta có:
\(P+\frac{2\left(a+b+c\right)}{15}\ge\frac{a+b+c}{5}\Leftrightarrow P\ge\frac{1}{15}\left(a+b+c\right)\)
Mà \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow S\ge\frac{1}{5}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
\(S=a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}\)
\(=\left(\frac{3a}{4}+\frac{3}{a}\right)+\left(\frac{b}{2}+\frac{9}{2b}\right)+\left(\frac{c}{4}+\frac{4}{c}\right)+\frac{1}{4}\left(a+2b+3c\right)\)
\(\ge2\sqrt{\frac{3a}{4}.\frac{3}{a}}+2\sqrt{\frac{b}{2}.\frac{9}{2b}}+2\sqrt{\frac{c}{4}.\frac{4}{c}}+\frac{1}{4}.20\)
\(\Rightarrow S\ge13\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 2, b = 3, c = 4
Vậy minS = 13 tại (a,b,c) = (2,3,4)