Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(8,\dfrac{bc}{\sqrt{3a+bc}}=\dfrac{bc}{\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}}=\dfrac{bc}{\sqrt{a^2+ab+ac+bc}}\)
\(=\dfrac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}}{2}\)
Tương tự cho các số còn lại rồi cộng vào sẽ được
\(S\le\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" khi a=b=c=1
Vậy
\(7,\sqrt{\dfrac{xy}{xy+z}}=\sqrt{\dfrac{xy}{xy+z\left(x+y+z\right)}}=\sqrt{\dfrac{xy}{xy+xz+yz+z^2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{xy}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\le\dfrac{\dfrac{x}{x+z}+\dfrac{y}{y+z}}{2}\)
Cmtt rồi cộng vào ta đc đpcm
Dấu "=" khi x = y = z = 1/3
\(a^2+4b^2=23ab\Rightarrow a^2+4ab+4b^2=27ab\Rightarrow\left(a+2b\right)^2=27ab\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+2b\right)^2}{9}=3ab\)\(\Rightarrow\left(\dfrac{a+2b}{3}\right)^2=3ab\)
Lấy logarit cơ số c hai vế:
\(log_c\left(\dfrac{a+2b}{3}\right)^2=log_c\left(3ab\right)\)
\(\Rightarrow2log_c\dfrac{a+2b}{3}=log_c3+log_ca+log_cb\)
\(\Rightarrow log_c\dfrac{a+2b}{3}=\dfrac{1}{2}\left(log_ca+log_cb+log_c3\right)\)
Đặt \(\left(a^2;b^2;c^2\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)thì bài toán trở thành:
Cho \(x;y;z\in\left[0;1\right]\)và không đồng thời bằng 0.Cm:\(\dfrac{x^2y+y^2z+z^2x+3}{x^{1006}+y^{1006}+z^{1006}}\ge2\)
Ta có: \(x^{1006}\le x^2\) vì \(\Leftrightarrow x^2\left(1-x^{1004}\right)\ge0\)(đúng vì \(0\le x\le1\))
Tương tự ta có: \(x^{1006}+y^{1006}+z^{1006}\le x^2+y^2+z^2\)
( Dấu = xảy ra ở đây là cả 3 số bằng 1 hoặc 2 số bằng 1, 1 số bằng 0)
Lại có:\(x^2y\ge x^2y^2\Leftrightarrow x^2y\left(1-y\right)\ge0\left(true\right)\)
\(\Rightarrow x^2y+y^2z+z^2x\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)
( Dấu = xảy ra ở đây là cả 3 số bằng 1, hoặc 2 số bằng 1,1 số bằng 0 ;hoặc chỉ cần 1 số bằng 0,1 số bằng 1)
Giờ ta cần chứng minh:
\(\dfrac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+3}{x^2+y^2+z^2}\ge2\Leftrightarrow\sum\left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)\ge0\)(đúng)
(Dấu = xảy ra ở đây là chỉ cần 2 số bằng 1)
Kết hợp cả 3 TH dấu = ta được:BĐT xảy ra khi cả 3 số bằng 1 hoặc 2 số bằng 1; 1 số bằng 0
Đó là x;y;z.Khi đổi về a;b;c thì còn hoán vị cả \(-1;1\)
P/s: rắc rối mỗi cái điểm rơi :V
Lời giải:
Ta có:
\(\text{VT}=a-\frac{2ab^2}{a+2b^2}+b-\frac{2bc^2}{b+2c^2}+c-\frac{2ca^2}{c+2a^2}\)
\(=(a+b+c)-2\left(\frac{ab^2}{a+2b^2}+\frac{bc^2}{b+2c^2}+\frac{ca^2}{c+2a^2}\right)\)
\(=(a+b+c)-2\left(\frac{ab^2}{a+b^2+b^2}+\frac{bc^2}{b+c^2+c^2}+\frac{ca^2}{c+a^2+a^2}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương:
\(\text{VT}\geq (a+b+c)-2\left(\frac{ab^2}{3\sqrt[3]{ab^4}}+\frac{bc^2}{3\sqrt[3]{bc^4}}+\frac{ca^2}{3\sqrt[3]{ca^4}}\right)\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq (a+b+c)-\frac{2}{3}(\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{b^2c^2}+\sqrt[3]{c^2a^2})\)
Áp dụng BĐT Cauchy tiếp:
\(\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{b^2c^2}+\sqrt[3]{c^2a^2}\leq \frac{ab+ab+1}{3}+\frac{bc+bc+1}{3}+\frac{ca+ca+1}{3}\)
\(=\frac{2(ab+bc+ac)+3}{3}\leq \frac{2.\frac{(a+b+c)^2}{3}+3}{3}\)
Do đó: \(\text{VT}\geq (a+b+c)-\frac{2}{3}.\frac{2.\frac{(a+b+c)^2}{3}+3}{3}=1\) do $a+b+c=3$
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$