Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử trong 2015 số đã cho không có 2 số nào bằng nhau
Không mất tính tổng quát giải sử \(a_1< a_2< a_3< ......< a_{2015}\)
Vì \(a_1;a_2;a_3;....a_{2015}\)đều là các số nguyên dương nên \(a_1\ge1;a_2\ge2;....;a_{2016}\ge2016\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+....+\frac{1}{a_{2015}}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2015}\)\(=1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)+....+\left(\frac{1}{1024}+\frac{1}{1025}+\frac{1}{1026}+...+\frac{1}{2015}\right)\)
\(< 1+\frac{1}{2}\cdot2+\frac{1}{4}\cdot4+\frac{1}{8}\cdot8+....+\frac{1}{512}\cdot512+\frac{1}{1024}\cdot993\)
\(< 1+\frac{1}{2}\cdot2+\frac{1}{2^2}\cdot2^2+\frac{1}{2^3}\cdot2^3+......+\frac{1}{2^{10}}\cdot2^{10}=11< 1008\)
Trái với giải thiết. Do đó điều giả sử sai
Vậy trong 2015 số đã cho có ít nhất 2 số bằng nhau
Giả sử trong 2015 số nguyên dương a1, a2, ... , a2015 thỏa mãn :
\(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+...+\dfrac{1}{a_{2015}}=1008\)và không có số nào bằng nhau.Ta có :
\(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+...+\dfrac{1}{a_{2015}}\le\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{2015}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+...+\dfrac{1}{a_{2015}}< \dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{2}=1+1007=1008\)
(mâu thuẫn)
⇒Điều giả sử sai ⇒ có ít nhất 2 trong 2015 số nguyên dương đã cho
bằng nhau.
Giả sử trong 97 số đã cho không có hai số nào bằng nhau
Không mất tính tổng quát ta giả sử \(a_1< a_2< a_3< ....< a_{97}\)
Vì \(a_1;a_2;a_3;....;a_{97}\) đều là số tự nhiên nên ta suy ra \(a_1\ge1;a_2\ge2;....;a_{97}\ge97\)
Suy ra
\(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+...+\dfrac{1}{a_{97}}\)\(< 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{97}\)
\(=1+\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}\right)+...+\left(\dfrac{1}{64}+\dfrac{1}{65}+...+\dfrac{1}{97}\right)\)
\(=1+\dfrac{1}{2}\cdot2+\dfrac{1}{2^3}\cdot2^3+...+\dfrac{1}{2^6}\cdot2^6=7< \dfrac{32}{2}=16\)
Mâu thuẫn với giả thiết. Do đó điều giả sử là sai
Vậy trong 97 số đã cho phải có ít nhất 2 số bằng nhau
Giả sử trong 2021 số nguyên dương đã cho không có số nào bằng nhau.
Và a1 < a2 < a3 < ... < a2021 . Ta có :
\(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+...+\dfrac{1}{a_{2021}}\le\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{2021}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+...+\dfrac{1}{a_{2021}}< \dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{2}=1+1010=1011\)
(mâu thuẫn)
⇒Điều giả sử sai. ⇒ Ít nhất 2 trong số 2021 số nguyên dương đã cho bằng nhau.