Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét: \(\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}-\frac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}=\frac{x^4-y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\)\(=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2-y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)\left(x-y\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}=x-y\)(1)
Tương tự, ta có: \(\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}-\frac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}=y-z\)(2); \(\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}-\frac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}=z-x\)(3)
Cộng theo vế của 3 đẳng thức (1), (2), (3), ta được:
\(\left[\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\right]\)\(-\left[\frac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\right]=0\)
\(\Rightarrow\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)\(=\frac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
Mà \(A=\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)nên \(2A=\frac{x^4+y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{y^4+z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^4+x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)\(\ge\frac{\frac{\left(y^2+z^2\right)^2}{2}}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\frac{\frac{\left(y^2+z^2\right)^2}{2}}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\frac{\frac{\left(z^2+x^2\right)^2}{2}}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+y^2}{x+y}+\frac{y^2+z^2}{y+z}+\frac{z^2+x^2}{z+x}\right)\)\(\ge\frac{1}{2}\left(\frac{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}{x+y}+\frac{\frac{\left(y+z\right)^2}{2}}{y+z}+\frac{\frac{\left(z+x\right)^2}{2}}{z+x}\right)\)\(=\frac{1}{4}\left[\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\right]=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)=\frac{1}{2}\)(Do theo giả thiết thì x + y + z = 1)
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Bài này t làm rồi, "nhẹ" không ấy mà :|
Dự đoán khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\Rightarrow A=\frac{1}{4}\). Ta c/m nó là GTNN của A
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(A=Σ\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{Σ\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\)
Cần chứng minh BĐT \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{Σ\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\frac{x+y+z}{4}\)
\(\Leftrightarrow4\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\left(x+y+z\right)Σ\left(2x^3+x^2y+x^2z\right)\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(2x^4-3x^3y-3x^3z+6x^2y^2-2x^2yz\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(2x^4-3x^3y-3x^3z+4x^2y^2\right)+Σ\left(2x^2y^2-2x^2yz\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(x^4-3x^3y+4x^2y^2-3xy^3+y^4\right)+Σ\left(x^2z^2-2z^2xy+y^2z^2\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(x-y\right)^2\left(x^2-xy+y^2\right)+Σz^2\left(x-y\right)^2\ge0\)
BĐT cuối đúng tức ta có \(A_{Min}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
P/s: Nguồn lời giải Câu hỏi của Vo Trong Duy - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath, rảnh quá ngồi gõ lại :V
a/ \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=\left(xy-\frac{1}{xy}\right)^2+4\ge4\)
Suy ra Min M = 4 . Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/2
b/ Đề đúng phải là \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{3}{2}\)
Ta có \(6=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{4}\)
Lại có \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{9}{8\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{8.\frac{3}{4}}=\frac{3}{2}\)
\(B=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(1-\frac{1}{y^2}\right)=1-\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}-\frac{1}{x^2y^2}\right)=1-\frac{x^2+y^2-1}{x^2y^2}\)
\(B=1-\frac{\left(x+y\right)^2-2xy-1}{x^2y^2}=1-\frac{-2xy}{x^2y^2}=1+\frac{2}{xy}\)
Cô-si : \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow xy\le\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow B\ge1+\frac{2}{\frac{1}{4}}=9\)
Vậy B có GTNN bằng 9 khi x = y = \(\frac{1}{2}\)
với x,y>0 ta áp dụng BĐT cauchy nên ta có: 1+y \(\ge\)2 \(\sqrt{y}\)>0 (1)
với x,y>0 ta áp dụng BĐT cauchy nên ta có: 1+y/x \(\ge\)2 \(\sqrt{\frac{y}{x}}\)>0 (2)
Nhân theo vế của 2 BĐT (1),(2) ta có :(1+y)(1+y/x) \(\ge\)2\(\sqrt{y}\) 2.\(\sqrt{\frac{y}{x}}\)=4 \(\sqrt{\frac{y^2}{x}}\)=4 \(\sqrt{\frac{x^2+1}{x}}\)\(\ge\) 4 \(\sqrt{\frac{2x}{x}}\) (áp dụng BĐT cauchy cho x^2+1) =4 \(\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi x=1 và y=4
\(VT=3\left(9x^2-12x+4\right)+\frac{8x}{1-x}=27x^2-36x+12+\frac{8x}{1-x}\)
\(=27x^2-36x+4+\frac{8}{1-x}=27x^2-18x-6+8\left(1-x\right)+\frac{8}{1-x}\)
\(=27x^2-18x+3+8\left(1-x\right)+\frac{8}{1-x}-9\)
\(=3\left(3x-1\right)^2+8\left(1-x\right)+\frac{8}{1-x}-9\)
\(\Rightarrow VT\ge2\sqrt{8^2}-9=7\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=\frac{1}{3}\)
a) \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)
\(+\frac{1}{y^2}\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+2+\frac{1}{x^2y^2}\)
\(=2+\left(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}\right)+\frac{255}{256x^2y^2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwar cho 2 số không âm, ta được:
\(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2y^2}{256x^2y^2}}=\frac{1}{8}\)
C/m được BĐT phụ: \(1=\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow16x^2y^2\le1\Leftrightarrow256x^2y^2\le16\Leftrightarrow\frac{255}{256x^2y^2}\ge\frac{255}{16}\)
\(\Rightarrow M\ge2+\frac{1}{8}+\frac{255}{16}=\frac{289}{16}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2y^2=\frac{1}{256x^2y^2}\\x-y=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\))
\(\frac{16}{3x+3y+2z}=\frac{16}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)+\left(x+y\right)1}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\)
Tương tự \(\frac{16}{3x+2y+3z}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+z}\)
\(\frac{16}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{y+z}\)
Cộng vế theo vế ta có:
\(16\left(\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\right)\le4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=24\)
\(\Rightarrow\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
P/S:Có dùng S-vác ngược dấu ạ.ý tưởng tách mẫu là từ tth_new - Trang của tth_new - Học toán với OnlineMath nha !
=> P = 2*2^2 - 6*1 + 9*1/2^2
=> P = 8 - 6 + 9/4
=> P = 17/4
Cho x,y là 2 số dương thỏa mãn x+y=1.CM: $3(3x-2)^2+\frac{8x}{y}\geq 7$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học