Question

[Việt Nam vô địch]

cho 2 số nguyên cùng nhau a và b . chứng tỏ rằng hai số 11a + 2b và 18a + 5b hoặc nguyên tố cùng nhau hoặc có 1ước chung là là 19

Answer 1

[Pham Van Hung]

Gọi \(ƯC\left(11a+2b;18a+5b\right)=d\left(d\in N\right)\)

\(11a+2b⋮d,18a+5b⋮d\)

\(5\left(11a+2b\right)-2\left(18a+5b\right)⋮d\)

\(55a+10b-36a-10b⋮d\)

\(19a⋮d\)

\(19⋮d\Rightarrow d\in\left\{1;19\right\}\)

Answer 2

[Khánh Vy]

gọi  \(d=\left(11a+2b,18a+5b\right)\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}11a+2b⋮d\\18a+5b⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left[11\left(18a+5b\right)-18\left(11a+2b\right)\right]⋮d\) hay \(19b⋮d\) 

và \(\left[5\left(18a+2b\right)-2\left(18a+5b\right)\right]⋮d\)hay \(19a⋮d\)

\(\Rightarrow\left(19a,19b\right)⋮d\) hay

  \(19\left(a,b\right)⋮d\Rightarrow19⋮d\)

vậy d = 1 hoặc d = 19 , tương ứng hai số 11a + 2b và 18a + 5b , nguyên tố cùng nhau , có ước chung là 19