Question

[Nao Tomori]

cho 2 đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B . Tâm đường tròn  này ngoài đường tròn kia . Tiếp tuyến tại A của (O) cắt (O') tại C , tiếp tuyến tại A của (O') cắt (O) tại D ( D,C khác A)

1/  chứng minh góc OAO' = góc OBO'

2/  chứng minh OO' là trung trực của AB

3/  chứng minh BA^2 =  BC.BD

4/  cho góc OAO'= 90 độ . Chứng minh D,B.C thẳng hàng

Answer 1

[Nguyễn Thị BÍch Hậu]

1) (O): OA=OB =R => TAM GIÁC AOB CÂN => GÓC OAB=OBA

TƯƠNG TỢ VỚI (O') => GÓC O'AB=O'BA

=> OAB+O'AB=0BA+O'BA => OAO'=OBO'

2) CÁI NÀY ĐÃ CÓ TRONG TÍNH CHẤT ĐƯỢC SỬ DỤNG CỦA 2 ĐƯỜNG TRÒN CẮT NHAU: NẾU AI ĐƯỜNG TRÒN CẮT NHAU THÌ ĐƯỜNG NỐI TÂM LÀ ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA  DÂY CHUNG

3) XÉT (O): GÓC DAB=GÓC CAB( GÓC NT VÀ GÓC TB TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG CÙNG CHẮN CUNG AB)

(O'): GÓC CAB=DAB (( GÓC NT VÀ GÓC TB TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG CÙNG CHẮN CUNG AB)

XÉT TAM GIÁC ABD VÀ TAM GIÁC CBA: GÓC DAB=GÓC CAB;  GÓC CAB=DAB

=> 2 TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG (G.G) => \(\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}\Rightarrow AB^2=BD.BC\)

4) 

TA CÓ: AC LÀ TIẾP TUYẾN CỦA (O) => GÓC OAC=90. NẾU OAO' =90 => C  THUỘC OA'. MẶT KHÁC C THUỘC (O') => AC LÀ ĐƯỜNG KÍNH (O') => GÓC ABC=90 ( GỌI NT CHẮN NỬA ĐƯỜNG TRÒN)=> AB VUÔNG GÓC BC

TƯƠNG TỰ CHỨNG MINH: D THUỘC OA => AD LÀ ĐƯỜNG KÍNH CỦA (O)  => GÓC ABD=90 ( GỌI NT CHẮN NỬA ĐƯỜNG TRÒN)=> AB VUÔNG GÓC BD

=> 3 ĐIỂM B,D,C THẲNG HÀNG.