cho \(-1\le x,y,z\le3\) \(x+y+z=1\) chứng minh \(x^2+y^2+z^2\le11\) giúp mik nha cần gấp

cho \(-1\le x,y,z\le3\) \(x+y+z=1\)chứng minh

LQ

lê quỳnh như

17 tháng 5 2017 - olm

CHO \(\hept{\begin{cases}-1\le x,y,z\le3\\x+y+z=3\end{cases}}\)

chúng minh \(x^2+y^2+z^2\le11\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

2

LM

Lê Minh Đức

17 tháng 5 2017

\(-1\le x,y,z\le3\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}-1\le x\le3\\-1\le y\le3\\-1\le z\le3\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\ge0\\\left(3-x\right)\left(3-y\right)\left(3-z\right)\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1\ge0\\27-9\left(x+y+z\right)+3\left(xy+yz+zx\right)-xyz\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}xyz+xy+yz+zx+4\ge0\\27-9.3+3\left(xy+yz+zx\right)-xyz\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}xyz+xy+yz+zx+4\ge0\\3\left(xy+yz+zx\right)-xyz\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow4\left(xy+yz+zx\right)\ge-4\)

\(\Rightarrow2\left(xy+yz+zx\right)\ge-2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\ge x^2+y^2+z^2-2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2-2\le\left(x+y+z\right)^2=3^2=9\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le11\)

Đúng(0)

TN

Thắng Nguyễn

17 tháng 5 2017

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\ge c\)

Khi \(f\left(x\right)=x^2\) là 1 hàm lồi trên \(\left[-1;3\right]\) and \(\left(-1;-1;3\right)›\left(a,b,c\right)\)

Theo BĐT Karamata ta có:

\(11=\left(-1\right)^2+\left(-1\right)^2+3^2\ge a^2+b^2+c^2\)

Đúng(0)

M

MA

19 tháng 5 2019 - olm

x,y,z thỏa mãn \(-1\le x,y,z\le3\) và \(x+y+z=1\)

cm \(x^2+y^2+z^2\le11\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

1

TP

Trần Phúc Khang

20 tháng 5 2019

Ta có \(\left(x+1\right)\left(x-3\right)\le0\)=> \(x^2\le2x+3\)

Tương tự \(y^2\le2y+3\)

\(z^2\le2z+3\)

=> \(x^2+y^2+z^2\le2\left(x+y+z\right)+9=11\)

Dấu bằng xảy ra khi x=y=-1,z=3 và các hoán vị

Đúng(0)

TT

Trương Tuấn Kiệt

11 tháng 6 2019 - olm

1)Cho các số thực \(x_1,x_2,x_3\)và \(y_1,y_2,y_3\)thỏa mãn \(x_1\le x_2\le x_3,y_1\le y_2\le y_3\).Chứng minh rằng \(\left(x_1+x_2+x_3\right)\left(y_1+y_2+y_3\right)\le3\left(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3\right)\)2)Với các số thực x,y,z tùy ý thỏa mãn \(1< x\le y\le z\).Chứng minh...

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

2

NP

Nguyễn Phương Thảo

11 tháng 6 2019

Một cửa hàng ngày thứ nhất bán 180 tạ gạo, ngày thứ hai bán 270 tạ gạo , ngày thứ ba bán kém hơn ngày thứ hai một nửa .Hỏi trung bình mỗi ngày cửa hàng bán được bao nhiêu tạ gạo ?

Đúng(0)

DT

Đào Thu Hoà

11 tháng 6 2019

1) Xét hiệu :

\(\left(x_1+x_2+x_3\right)\left(y_1+y_2+y_3\right)-3\left(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3\right).\)

\(=x_1\left(y_1+y_2+y_3\right)-3x_1y_1+x_2\left(y_1+y_2+y_3\right)-3x_2y_2+x_3\left(y_1+y_2+y_3\right)-3x_3y_3.\)

\(=x_1\left(y_2+y_3-2y_1\right)+x_2\left(y_1+y_3-2y_2\right)+x_3\left(y_1+y_2-2y_3\right)\)

\(=x_1\left[\left(y_2-y_1\right)-\left(y_1-y_3\right)\right]+x_2\left[\left(y_3-y_2\right)-\left(y_2-y_1\right)\right]+x_3\left[\left(y_1-y_3\right)-\left(y_3-y_2\right)\right]\)

\(=\left(y_2-y_1\right)\left(x_1-x_2\right)+\left(y_1-y_3\right)\left(x_3-x_1\right)+\left(y_3-y_2\right)\left(x_2-x_3\right)\le0\)

Vì \(x_1\le x_2\le x_3;y_1\le y_2\le y_3\)

Đúng(0)

LT

Loan Trinh

7 tháng 6 2018 - olm

1/cho x>2014. Chứng minh bất đẳng thức sau:\(\frac{\sqrt{x-2013}}{x+2}\) + \(\frac{\sqrt{x-2014}}{x}\)\(\le\)\(\frac{1}{2\sqrt{2015}}\)+\(\frac{1}{2\sqrt{2014}}\)(bằng cách đặt ẩn phụ để áp dụng BĐT Cauchy)2/cho x,y,z>0. chứng minh BĐT sau:\(\frac{x}{2x+y+z}\)+\(\frac{y}{x+2y+z}\)+\(\frac{z}{x+y+2z}\)\(\le\) 3/4 (bằng cách đặt ẩn phụ để áp dụng BĐT Cauchy)các bạn giải thật kĩ giúp nha! nếu giải bằng cách đặt ẩn phụ...

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

2

AN

alibaba nguyễn

7 tháng 6 2018

1/ Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2013}=a\\\sqrt{x-2014}=b\end{cases}}\)

Thì ta có:

\(\frac{\sqrt{x-2013}}{x+2}+\frac{\sqrt{x-2014}}{x}=\frac{a}{a^2+2015}+\frac{b}{b^2+2014}\)

\(\le\frac{a}{2a\sqrt{2015}}+\frac{b}{2b\sqrt{2014}}=\frac{1}{2\sqrt{2015}}+\frac{1}{2\sqrt{2014}}\)

Đúng(0)

AN

alibaba nguyễn

7 tháng 6 2018

2/ \(\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{x+2y+z}+\frac{z}{x+y+2z}\)

\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+x}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)\)

\(=\frac{3}{4}\)

Đúng(0)

KV

Khánh Vũ Trọng

15 tháng 5 2019 - olm

Cho x,y,z là các số thỏa mãn 1\(\le\)x\(\le\)y\(\le\)z\(\le\)2.

Chứng minh rằng: \(\left(x+y+z\right).\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{\: y}+\frac{1}{z}\right)\le\frac{81}{8}\).

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

0

DT

Duong Thi Minh

7 tháng 4 2017 - olm

Giải chi tiết hộ minh:

1.Cho các số thực dương x,y thả mãn \(1+x+y=\sqrt{x}+\sqrt{xy}+\sqrt{y}\).Tính giá trị của biểu thức \(S=x^{2013}+y^{2013}\)

2.Cho 3 số x,y,z thoả mãn \(\hept{\begin{cases}x,y,z\in\left[-1;3\right]\\x+y+z=3\end{cases}}\).Chứng minh rằng :\(x^2+y^2+z^2\le11\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

2

TN

Thắng Nguyễn

8 tháng 4 2017

Bài 1: Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(1+x\ge2\sqrt{x}\)

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(y+1\ge2\sqrt{y}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(2\left(1+x+y\right)\ge2\left(\sqrt{x}+\sqrt{xy}+\sqrt{y}\right)\)

\(1+x+y\ge\sqrt{x}+\sqrt{xy}+\sqrt{y}\Leftrightarrow VT\ge VP\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}1+x=2\sqrt{x}\\x+y=2\sqrt{xy}\\y+1=2\sqrt{y}\end{cases}}\Rightarrow x=y=1\)

Khi đó \(S=x^{2013}+y^{2013}=1^{2013}+1^{2013}=2\)

Bài 2: Vì \(\hept{\begin{cases}x,y,z\in\left[-1;3\right]\\x+y+z=3\end{cases}}\) nên

\(0\le\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)+\left(3-x\right)\left(3-y\right)\left(3-z\right)\)

\(\Leftrightarrow0\le4\left(xy+yz+xz\right)-8\left(x+y+z\right)+28\)

\(\Leftrightarrow0\le2\left(xy+yz+xz\right)+2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)+2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le\left(x+y+z\right)^2+2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le3^2+2=9+2=11\)

Đúng(0)

DT

Duong Thi Minh

8 tháng 4 2017

Cảm ơn b Thắng Nguyễn

Đúng(0)

PV

Pham Van Hung

27 tháng 1 2020 - olm

Cho x;y;z thoả mãn \(\hept{\begin{cases}1\le x;y;z\le3\\x+y+z=6\end{cases}}\)

Chứng minh: \(x^3+y^3+z^3\le36\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

1

T

tth_new

28 tháng 1 2020

Đặt \(x=a+1;y=b+1;z=c+1\Rightarrow0\le a,b,c\le2\)và \(a+b+c=3\)

Chứng minh : \(\left(a+1\right)^3+\left(b+1\right)^3+\left(c+1\right)^3\le36\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a^2+b^2+c^2\right)\le24\). Không mất tính tổng quát, giả sử \(2\ge a\ge b\ge c\ge0\) thì:

\(3a\ge a+b+c=3\Rightarrow2\ge a\ge1\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\le0\)

Theo kết quả bài này thì \(a^2+b^2+c^2\le5\) (em làm thế này cho ngắn, lúc trình bày vô bài làm thì anh ghi cả chứng minh vô luôn nha!). Vậy ta chỉ cần chứng minh: \(a^3+b^3+c^3\le9\).

Ta có: \(a^3+b^3+c^3\le a^3+b^3+c^3+3bc\left(b+c\right)\)

\(=a^3+\left(b+c\right)^3=a^3+\left(3-a\right)^3\)

\(=9\left(a-1\right)\left(a-2\right)+9\le9\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(2;1;0\right)\) và các hoán vị.

Đúng(0)

TX

Thảo Xấu Gái

7 tháng 5 2017

Cho 3 số x,y,z thỏa mãn -1\(\le\)x,y,z\(\le\)3 và x+y+z=1. Chứng minh rằng x²+y²+z²\(\le\)11

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

2

HN

Hung nguyen

7 tháng 5 2017

Từ đề bài ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\ge0\\\left(x-3\right)\left(y-3\right)\left(3-z\right)\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xyz+\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)+1\ge0\\-xyz+3\left(xy+yz+zx\right)-9\left(x+y+z\right)+27\ge0\end{matrix}\right.\)

Lấy trên + dưới ta được

\(4\left(xy+yz+zx\right)-8\left(x+y+z\right)+28\ge0\)

\(\Leftrightarrow4\left(xy+yz+zx\right)+20\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+y+z\right)^2+20\ge2x^2+2y^2+2z^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le11\)

Đúng(0)

LF

Lightning Farron

7 tháng 5 2017

Bài này Karamata là vừa :D

Giả sử \(a\ge b\ge c\)

Khi \(f\left(x\right)=x^2\) là hàm lồi trên \(\left[-1,3\right]\) và \((-1,-1,3)\succ(a,b,c)\)

Theo Karamata's inequality ta có:

\(11=\left(-1\right)^2+\left(-1\right)^2+3^2\ge a^2+b^2+c^2\)

Đúng(0)

DV

Dạ Vũ

30 tháng 6 2017 - olm

1. Cho biểu thức: \(\frac{\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}}{\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}}\) = \(\sqrt{2}\) với -2 < x < 2 và x \(\ne\)0 .Tính giá trị của biểu thức: \(\frac{x+2}{x-2}\)2. Giải phương trình: x2 - 7x = 6\(\sqrt{x+5}\)-303. Cho các số thực dương x; y; z thỏa mãn: x + y +z = 1. Chứng minh rằng: \(\frac{x}{x+yz}\)+ \(\frac{y}{y+zx}\)+ \(\frac{z}{z+xy}\)\(\le\)\(\frac{9}{4}\)--------------------------------------------Các cậu giúp tớ nhanh nha, tớ...

Đọc tiếp

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

4

TA

Thiên An

30 tháng 6 2017

2. ĐK: \(x\ge-5\)

\(\Leftrightarrow\left(x+5-6\sqrt{x+5}+9\right)+\left(x^2-8x+16\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+5}-3\right)^2+\left(x-4\right)^2=0\)

\(\forall x\ge-5\) ta luôn có \(\left(\sqrt{x+5}-3\right)^2+\left(x-4\right)^2\ge0\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x+5}-3=0\\x-4=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) x = 4 (nhận)

Đúng(0)

R

Rau

30 tháng 6 2017

Muốn câu nào ? ^^ Mình giải cho ........><

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP