K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
L
0
LV
4 tháng 5 2017
Áp dụng bất đẳng thức cauchy-schwarz dạng engel:
\(P=\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\)
lại có theo AM-GM :\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow P\ge a^2+b^2+c^2\)(*)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: \(\left(a^2+1\right)+\left(b^2+1\right)+\left(c^2+1\right)\ge2a+2b+2c\)(1)
và \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)(2)
cộng theo vế (1) và (2): \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge2\left(a+b+c+ab+bc+ca\right)=12\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)(**)
từ (*) và (**) ta có \(P\ge3\)
đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
27 tháng 7 2021
d) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:
\(BC^2=AB^2+AC^2\)
\(\Leftrightarrow BC^2=\left(a\sqrt{3}\right)^2+a^2=4a^2\)
hay BC=2a
Xét ΔABC vuông tại A có
\(\sin\widehat{B}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{a}{2a}=\dfrac{1}{2}\)
\(\cos\widehat{B}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2a}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\tan\widehat{B}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{a}{a\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\cot\widehat{B}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\)
20 tháng 10 2017
Ta có:
\(a+b+c+ab+bc+ca=6\)
\(\Leftrightarrow12-\left(2a+2b+2c+2ab+2bc+2ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3-\left(2a+2b+2c+2ab+2bc+2ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a=b=c=1\)
\(\Rightarrow Q=\frac{1^{22}+1^{12}+1^{1994}}{1^{22}+1^{12}+1^{2013}}=\frac{3}{3}=1\)
Do \(1\le a;b;c\le6\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\\\left(6-a\right)\left(6-b\right)\left(6-c\right)\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)+\left(6-a\right)\left(6-b\right)\left(6-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow5\left(ab+bc+ca\right)-35\left(a+b+c\right)+215\ge0\)
\(\Leftrightarrow5\left(ab+bc+ca\right)-205\ge0\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge41\)
\(P_{min}=41\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;5;6\right)\) và các hoán vị