Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số không âm , ta có :
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}}=2\sqrt{\dfrac{a}{c}}\left(1\right)\)
\(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{a}}=2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\left(2\right)\)
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{a}\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{c}{a}}=2\sqrt{\dfrac{c}{b}}\left(3\right)\)
Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3) , ta có :
\(2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\) ≥ \(2\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}\right)\)
⇔ \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\) ≥ \(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}\)
Lời giải:
Từ \(a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow a+b+c\geq \frac{ab+bc+ac}{abc}\Rightarrow abc(a+b+c)\geq ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow a^2b^2c^2(a+b+c)^2\geq (ab+bc+ac)^2(1)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a^2b^2+b^2c^2\geq 2ab^2c\)
\(b^2c^2+c^2a^2\geq 2abc^2\)
\(a^2b^2+c^2a^2\geq 2a^2bc\)
Cộng theo vế, rút gọn \(\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq abc(a+b+c)\)
\(\Rightarrow (ab+bc+ac)^2\geq 3abc(a+b+c)(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow a^2b^2c^2(a+b+c)^2\geq 3abc(a+b+c)\)
\(\Rightarrow abc(a+b+c)\geq 3\Rightarrow a+b+c\geq \frac{3}{abc}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Lời giải:
Ta có:
\(\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow a^8+b^8+c^8\geq a^2b^2c^2(ab+bc+ac)(*)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\left\{\begin{matrix} a^8+b^8\geq 2a^4b^4\\ b^8+c^8\geq 2b^4c^4\\ c^8+a^8\geq 2c^4a^4\end{matrix}\right.\Rightarrow a^8+b^8+c^8\geq a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\)
Tiếp tục áp dụng AM-GM:
\(a^8+b^8+a^4b^4+c^8\geq 4\sqrt[4]{a^{12}b^{12}c^8}=4a^3b^3c^2\)
\(b^8+c^8+b^4c^4+a^8\geq 4b^3c^3a^2\)
\(c^8+a^8+c^4a^4+b^8\geq 4c^3a^3b^2\)
Cộng lại: \(3(a^8+b^8+c^8)+(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4)\geq 4a^2b^2c^2(ab+bc+ca)\)
Mà \(a^8+b^8+c^8\geq a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\Rightarrow 4(a^8+b^8+c^8)\geq 4a^2b^2c^2(ab+bc+ac)\)
hay \(a^8+b^8+c^8\geq a^2b^2c^2(ab+bc+ac)\Rightarrow (*)\) đúng
Ta có đpcm.
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số không âm, ta có:
\(\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{a}\cdot\dfrac{b}{c}}=2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)
\(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{a}\cdot\dfrac{a}{b}}=2\)
Vì \(2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\ge2\) nên \(\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{c}\ge\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\) (đpcm)