Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: a\(\le\)b
<=>a2\(\le\)b2
<=>a2c\(\le\)b2c
<=>a2c+a\(\le\)b2c+b
<=>a(ac+1)\(\le\)b(bc+1)(1)
ac+1 >0 bc+1>0
=>(1)<=>\(\dfrac{a}{bc+1}\le\dfrac{b}{ac+1}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b
C/m tương tự ta có:\(\dfrac{b}{ac+1}\le\dfrac{c}{ab+1}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi b=c
=>\(\dfrac{a}{bc+1}\le\dfrac{b}{ac+1}\le\dfrac{c}{ab+1}\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Lại có:ab+1\(\ge\)1
\(0\le c\le1\)
=>\(\dfrac{c}{ab+1}< 1\)
=>\(\dfrac{c}{ab+1}\le2\)(bé hơn hoặc bằng chỉ cần bé hơn là thõa mãn nhé)
Từ đó ta có:\(\dfrac{a}{bc+1}\le\dfrac{b}{ac+1}\le\dfrac{c}{ab+1}\le2\)
Bài này lớp 7 là khó đấy \(0\le a\le b\le c\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}1-a\ge0\\1-b\ge0\end{cases}\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\ge0}\)
\(\Leftrightarrow ab-a-b+1\ge0\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)(*)
Vì \(0\le a\le b\le c\le1\) nên \(\hept{\begin{cases}ab\ge0\\1\ge c\end{cases}\Rightarrow ab+1\ge c}\)Kết hợp với (*) ta được :
\(2\left(ab+1\right)\ge a+b+c\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{ab+1}\le\frac{2}{a+b+c}\Rightarrow\frac{c}{ab+1}\le\frac{2}{a+b+c}\)(1)
Chứng minh tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{bc+1}\le\frac{2a}{a+b+c}\text{ }\left(2\right)\\\frac{b}{ac+1}\le\frac{2b}{a+b+c}\text{ }\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng vế với vế của (1);(2);(3) ta được :
\(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)(đpcm)
\(a\le1;b\le1\Rightarrow a-1\le0;b-1\le0\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab-a-b+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)
\(\frac{1}{ab+1}\le\frac{1}{a+b}\)
\(\Rightarrow\frac{c}{ab+1}\le\frac{2c}{a+b+c}\)
Chứng minh tương tự ta cũng có :
\(\hept{\begin{cases}\frac{a}{bc+1}\le\frac{2a}{a+b+c}\\\frac{b}{ac+1}\le\frac{2b}{a+b+c}\end{cases}}\)
Cộng vế với vế ta được :
\(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\) (đpcm)