Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
- Ta xét : \(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\left(n+1\right)-n}=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< 2\sqrt{n+1}-2\)
- Ta xét : \(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}{n-\left(n-1\right)}=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)< 2\sqrt{n}\) ;
Sau khi rút gọn ,ta được A=\(\left(\sqrt{x}+1\right)^2\)\(\Rightarrow\frac{1}{A}=\frac{1}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\). Để \(\frac{1}{A}\)là số tự nhiên \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x}+1\right)^2>0\\\left(\sqrt{x}+1\right)^2\in U\left(1\right)\end{cases}}\) \(\Rightarrow x=0\)( thỏa mãn ĐK).
trước hết ta chứng minh bất đẳng thức tổng quát : với n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì :
2√n−2<1+1√2+1√3+...+1√n<2√n−12n−2<1+12+13+...+1n<2n−1 (∗)(∗)
xét số hạng thứ kk trong dãy (2≤k≤n)(2≤k≤n) ta có : 1√k>2√k+√k+1=2(√k+1−√k)1k>2k+k+1=2(k+1−k) và 1√k<2√k+√k−1=2(√k−√k−1)1k<2k+k−1=2(k−k−1)
do đó 1+1√2+...+1√n>2(√2−1+√3−√2+...+√n+1−√n)=2(√n+1−1)>2√n−21+12+...+1n>2(2−1+3−2+...+n+1−n)=2(n+1−1)>2n−2
và 1+1√2+...+1√n<1+2(√2−1+√3−√2+...+√n−√n−1)=1+2(√n−1)=2√n−11+12+...+1n<1+2(2−1+3−2+...+n−n−1)=1+2(n−1)=2n−1
đến đây áp dụng (∗)(∗) với n=100n=100 thì 19<a<2019<a<20 nên a không phải là số tự nhiên.
trước hết ta chứng minh bất đẳng thức tổng quát : với n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì :
2√n−2<1+1√2+1√3+...+1√n<2√n−12n−2<1+12+13+...+1n<2n−1 (∗)(∗)
xét số hạng thứ kk trong dãy (2≤k≤n)(2≤k≤n) ta có : 1√k>2√k+√k+1=2(√k+1−√k)1k>2k+k+1=2(k+1−k) và 1√k<2√k+√k−1=2(√k−√k−1)1k<2k+k−1=2(k−k−1)
do đó 1+1√2+...+1√n>2(√2−1+√3−√2+...+√n+1−√n)=2(√n+1−1)>2√n−21+12+...+1n>2(2−1+3−2+...+n+1−n)=2(n+1−1)>2n−2
và 1+1√2+...+1√n<1+2(√2−1+√3−√2+...+√n−√n−1)=1+2(√n−1)=2√n−11+12+...+1n<1+2(2−1+3−2+...+n−n−1)=1+2(n−1)=2n−1
đến đây áp dụng (∗)(∗) với n=100n=100 thì 19<a<2019<a<20 nên a không phải là số tự nhiên.
Với n = 2 thì \(\frac{1}{1}+\frac{1}{\sqrt{2}}>\sqrt{2}\)
Giả sử bất đẳng thức đúng đến n = k
=> \(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{K}}>\sqrt{K}\)
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k+1
Ta có \(\frac{1}{\sqrt{1}}+...+\frac{1}{\sqrt{K}}+\frac{1}{\sqrt{K+1}}>\sqrt{K}+\frac{1}{\sqrt{K+1}}\)
= \(\frac{1+\sqrt{K^2+K}}{\sqrt{K+1}}\)
Mà ta lại có
\(\frac{1+\sqrt{K^2+K}}{\sqrt{K+1}}-\sqrt{K+1}\)
= \(\frac{\sqrt{K^2+K}-K}{\sqrt{K+1}}>0\)
Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1
=> Điều phải chứng minh
Ta có \(\frac{1}{\sqrt{1}}>\frac{1}{\sqrt{n}};\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{n}};\frac{1}{\sqrt{3}}>\frac{1}{\sqrt{n}};...\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}>\frac{1}{\sqrt{n}}.n=\sqrt{n}\)
a) đk: \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne1\end{cases}}\)
Ta có:
\(P=\left(\frac{3x-\sqrt{9x}-3}{x+\sqrt{x}-2}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}\right)\div\frac{1}{x-1}\)
\(P=\frac{3x-3\sqrt{x}-3+\sqrt{x}+2+\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\cdot\left(x-1\right)\)
\(P=\frac{3x-\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\cdot\left(\sqrt{x}-1\right)\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)\)
\(P=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(3\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+2}\)
\(P=\frac{\left(3\sqrt{x}+2\right)\left(x-1\right)}{\sqrt{x}+2}\)