Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
\(\left(C\right):x^2+y^2-2x-4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+y^2=5\)
Đường tròn \(\left(C\right)\) có tâm \(I=\left(1;0\right)\), bán kính \(R=\sqrt{5}\)
Phương trình đường thẳng \(d_1\) có dạng: \(x+y+m=0\left(m\in R\right)\)
Mà \(d_1\) tiếp xúc với \(\left(C\right)\Rightarrow d\left(I;d_1\right)=\dfrac{\left|1+m\right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{5}\)
\(\Leftrightarrow\left|m+1\right|=\sqrt{10}\)
\(\Leftrightarrow m=-1\pm\sqrt{10}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d_1:x+y-1+\sqrt{10}=0\\d_1:x+y-1-\sqrt{10}=0\end{matrix}\right.\)
2.
Phương trình đường thẳng \(\Delta\) có dạng: \(x-y+m=0\left(m\in R\right)\)
Ta có: \(d\left(I;\Delta\right)=\sqrt{R^2-\dfrac{MN^2}{4}}=2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left|m+1\right|}{\sqrt{2}}=2\)
\(\Leftrightarrow m=-1\pm2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\Delta:x-y+1+2\sqrt{2}=0\\\Delta:x-y+1-2\sqrt{2}=0\end{matrix}\right.\)
Đường tròn \((C)\) tâm \(I(a;b)\) bán kính \(R\)có phương trình
\((x-a)^2+(y-b)^2=R^2.\)
\(∆MAB ⊥ M\) \(\rightarrow \) \(AB\) là đường kính suy ra \(∆\) qua \(I\) do đó:
\(a-b+1=0 (1)\)
Hạ \(MH⊥AB\) có \(MH=d(M, ∆)= \dfrac{|2-1+1|}{\sqrt{2}}={\sqrt{2}} \)
\(S_{ΔMAB}=\dfrac{1}{2}MH×AB \Leftrightarrow 2=\dfrac{1}{2}2R\sqrt{2} \)
\(\Rightarrow R = \sqrt{2} \)
Vì đường tròn qua\(M\) nên (\(2-a)^2+(1-b)^2=2 (2)\)
Ta có hệ :
\(\begin{cases} a-b+1=0\\ (2-a)^2+(1-b)^2=0 \end{cases} \)
Giải hệ \(PT\) ta được: \(a=1;b=2\).
\(\rightarrow \)Vậy \((C) \)có phương trình:\((x-1)^2+(y-2)^2=2\)
Vì \(Ou\perp Ov\) nên giả sử PTĐT Ou và Ov lần lượt là : \(y=kx;y=-\dfrac{1}{k}x\) ( \(k\ne0\) )
Giả sử \(Ou;Ov\cap\left(E\right)\) lần lượt tại M ; N
Xét PTHĐGĐ của Ou và \(\left(E\right)\) là no của pt : \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{k^2x^2}{b^2}=1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2\left(b^2+k^2a^2\right)}{a^2b^2}=1\) \(\Leftrightarrow x_M^2=\dfrac{a^2b^2}{b^2+k^2a^2}\)
Thấy : \(OM^2=x_M^2+y_M^2=x_M^2\left(1+k^2\right)=\dfrac{a^2b^2}{b^2+k^2a^2}\left(k^2+1\right)\)
Suy ra : \(\dfrac{1}{OM^2}=\dfrac{b^2+k^2a^2}{a^2b^2\left(k^2+1\right)}\)
Tương tự , ta có : \(\dfrac{1}{ON^2}=\dfrac{b^2+\dfrac{1}{k^2}a^2}{a^2b^2\left(\dfrac{1}{k^2}+1\right)}=\dfrac{b^2k^2+a^2}{a^2b^2\left(1+k^2\right)}\)
Suy ra : \(\dfrac{1}{OM^2}+\dfrac{1}{ON^2}=\dfrac{\left(a^2+b^2\right)\left(k^2+1\right)}{a^2b^2\left(k^2+1\right)}=\dfrac{a^2+b^2}{a^2b^2}\) ko đổi do a ; b ko đổi
Gọi H là h/c của O lên MN ; ta có : \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OM^2}+\dfrac{1}{ON^2}=\dfrac{a^2+b^2}{a^2b^2}\)
\(\Rightarrow OH^2=\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}\Rightarrow OH=\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\) ko đổi ( a > b > 0 )
Vì OH \(\perp\) MN nên MN luôn tiếp xúc với \(\left(O;\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\) cố định ( đpcm )