Question

[Quyen Nguyen]

Câu 1: cho ; {x,y,z≥0

{ x+y+z≤3

Tính GTNN của biểu thức:

A= 1/1+x + 1/1+y + 1/1+z.

Giup mjk vs mjk đag cần gấp.!!

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(A=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{9}{3+x+y+z}\ge\frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow A_{min}=\frac{3}{2}\) khi \(x=y=z=1\)

Answer 2

[Akai Haruma]

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:

\(\frac{1}{x+1}+\frac{x+1}{4}\geq 1; \frac{1}{y+1}+\frac{y+1}{4}\geq 1; \frac{1}{z+1}+\frac{z+1}{4}\geq 1\)

Cộng theo vế:

\(\Rightarrow A+\frac{x+y+z+3}{4}\geq 3\)

\(\Leftrightarrow A\geq \frac{9}{4}-\frac{x+y+z}{4}\)

Mà \(x+y+z\leq 3\Rightarrow \Leftrightarrow A\geq \frac{9}{4}-\frac{x+y+z}{4}\geq \frac{9}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)

Vậy \(A_{\min}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1\)

-------------

Hoặc bạn có thể áp dụng luôn BĐT Cauchy-Schwarz:

\(A\geq \frac{(1+1+1)^2}{1+x+1+y+1+z}=\frac{9}{x+y+z+3}\geq \frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)