Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
bài này ko khác gì câu 921427 nhé bạn, có điều bạn tìm cách tách a + 3b + 2c = (a + b) + (b + c) + (b + c)
Thêm nữa, áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) với a, b, c > 0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
EZ!!!Sau khi sử dụng 1 số bđt đơn giản, ta sẽ được:
\(\text{Σ}_{cyc}\frac{ab}{a+3b+2c}\le\frac{1}{9}\text{Σ}_{cyc}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{a}{2}\right)=K\)
\(P\le K=\frac{1}{9}\left[\text{Σ}_{cyc}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{a+c}\right)+\frac{a+b+c}{2}\right]\)
\(=\frac{1}{9}\left(b+a+c+\frac{a+b+c}{2}\right)=\frac{a+b+c}{6}\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2
Ta có:\(\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ac}\ge\dfrac{9}{1+1+1+ab+bc+ca}\)(AM-GM)
Lại có:\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{3+ab+bc+ca}\ge\dfrac{9}{3+a^2+b^2+c^2}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Cháu làm cho bác câu 2 thôi,câu 3 THANGDZ làm rồi sợ mất bản quyền lắm:v
Lời giải:
Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\(\dfrac{a}{a+2b+3c}+\dfrac{b}{b+2c+3a}+\dfrac{c}{c+2a+3b}\)
\(=\dfrac{a^2}{a^2+2ab+3ac}+\dfrac{b^2}{b^2+2bc+3ab}+\dfrac{c^2}{c^2+2ac+3bc}\)
\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+5ab+5bc+5ac}\)
\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+3\left(ab+bc+ac\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{1}{2}\)
\(P=\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{c^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{a}\\y=\frac{1}{b}\\z=\frac{1}{c}\end{cases}}\Rightarrow xyz=1\Rightarrow P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+x+z+x+y}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Cần cách khác thì nhắn cái
Với [x>1x<−1] ta có: x^3< x^3+2x^2+3x+2<(x+1)^3⇒x^3<y^3<(x+1)^3 (không xảy ra)
Từ đây suy ra −1≤ x ≤1
Mà x∈Z⇒x∈{−1;0;1}
∙∙ Với x=−1⇒y=0
∙∙ Với x=0⇒y= căn bậc 3 của 2 (không thỏa mãn)
∙∙ Với x=1⇒y=2
Vậy phương trình có 2 nghiệm nguyên (x;y) là (−1;0) và (1;2)
1.
Ta có: \(\frac{2a+3b+3c+1}{2015+a}+\frac{3a+2b+3c}{2016+b}+\frac{3a+3b+2ac-1}{2017+c}\)
\(=\frac{b+c+4033}{2015+a}+\frac{c+a+4032}{2016+b}+\frac{a+b+4031}{2017+c}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}2015+a=x\\2016+b=y\\2017+c=z\end{cases}}\)
\(P=\frac{b+c+4033}{2015+a}+\frac{c+a+4032}{2016+b}+\frac{a+b+4031}{2017+c}\)
\(=\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}=\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{y}{x}\cdot\frac{x}{y}}+2\sqrt{\frac{z}{x}\cdot\frac{x}{z}}+2\sqrt{\frac{y}{z}\cdot\frac{z}{y}}\left(Cosi\right)\)
Dấu "=" <=> x=y=z => \(\hept{\begin{cases}a=673\\b=672\\c=671\end{cases}}\)
Vậy Min P=6 khi a=673; b=672; c=671
Câu 1 thử cộng 3 vào P xem
Rồi áp dụng BDT Cauchy - Schwars : a^2/x + b^2/y + c^2/z ≥(a + b + c)^2/(x + y + z)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{bc}{a+3b+2c}\le\frac{1}{9}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{c}{2}\right)\)
\(\frac{ca}{b+3c+2a}\le\frac{1}{9}\left(\frac{ca}{b+c}+\frac{ca}{c+a}+\frac{a}{2}\right)\)
\(\frac{ab}{c+3a+2b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{a+b}+\frac{b}{2}\right)\)
Cộng theo vế của 3 BĐT ta có:
\(VT\le\frac{1}{9}\left(\frac{a+b+c}{2}+\frac{ca+ab}{a+c}+\frac{ab+bc}{a+b}+\frac{bc+ca}{b+c}\right)\)
\(=\frac{1}{9}\left(a+b+c+\frac{a+b+c}{2}\right)=1\)
Dấu "=" khi a=b=c=2
Theo BĐT Bu nhi a cốp xki ta có :
\(\left(a+b+c+d\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right)\ge16\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\ge\dfrac{16}{a+b+c+d}\)
Áp dụng vào bài toán ta có :
\(\dfrac{1}{3a+3b+2c}=\dfrac{1}{16}.\dfrac{16}{\left(a+b\right)+\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\)
\(\dfrac{1}{3b+3c+2a}=\dfrac{1}{16}.\dfrac{16}{\left(b+c\right)+\left(b+c\right)+\left(a+b\right)+\left(c+a\right)}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{c+a}\right)\)
\(\dfrac{1}{3c+3a+2b}=\dfrac{1}{16}.\dfrac{16}{\left(c+a\right)+\left(c+a\right)+\left(a+b\right)+\left(b+c\right)}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}\right)\)
Cộng từng vế của BĐT ta được :
\(\dfrac{1}{3a+3b+2c}+\dfrac{1}{3b+3c+2a}+\dfrac{1}{3c+3a+2b}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)=\dfrac{1}{4}.6=\dfrac{3}{2}\)
Vậy GTLN của A là \(\dfrac{3}{2}\) . Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{4}\)
Làm tạm vào đây vậy
từ gt dễ dàng => \(ab+bc+ca\le3\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le\frac{ab}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
Áp dụng cô si ta có
\(\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}\right)\)
Tương tự như vậy rồi ccộng vào nhá nhok
Áp dụng BĐT: \(\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9\) ( Câu hỏi của ZoZ - Kudo vs Conan - ZoZ - Toán lớp 9 | Học trực tuyến)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x+y+z}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
Áp dụng vào, ta có:
\(\dfrac{ab}{a+3b+2c}=\dfrac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}\le\dfrac{ab}{9}\left(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{2b}\right)\)\(\dfrac{bc}{b+3c+2a}=\dfrac{bc}{\left(a+c\right)+\left(a+b\right)+2c}\le\dfrac{9}{bc}\left(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{2c}\right)\)\(\dfrac{ca}{c+3a+2b}=\dfrac{ca}{\left(c+b\right)+\left(b+a\right)+2a}\le\dfrac{ca}{9}\left(\dfrac{1}{c+b}+\dfrac{1}{b+a}+\dfrac{1}{2a}\right)\)
Cộng vế theo vế BĐT, ta được:
\(P\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{bc+ac}{a+b}+\dfrac{bc+ab}{a+c}+\dfrac{ab+ac}{b+c}\right)+\dfrac{1}{18}\left(a+b+c\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{9}\left[\dfrac{c\left(a+b\right)}{a+b}+\dfrac{b\left(c+a\right)}{a+c}+\dfrac{a\left(b+c\right)}{b+c}\right]+\dfrac{1}{18}\left(a+b+c\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{9}\left(a+b+c\right)+\dfrac{1}{18}\left(a+b+c\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{6}\left(a+b+c\right)\) \(=\dfrac{1}{6}.6=1\)
\(\Rightarrow Max_P=1\Leftrightarrow a=b=c=2\)