Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:Áp dụng C-S dạng engel
\(\frac{3}{xy+yz+xz}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{6}{2\left(xy+yz+xz\right)}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\ge\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2>14\)
\(\frac{x^2}{2y}+\frac{y^2}{2x}+\frac{y^2}{2z}+\frac{z^2}{2y}+\frac{z^2}{2x}+\frac{x^2}{2z}\ge\frac{\left(2x+2y+2z\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}=x+y+z\)
Lời giải:
Sử dụng phương pháp hệ số bất định, ta sẽ chứng minh:
$\frac{1}{x^2+x}\geq \frac{5}{4}-\frac{3}{4}x(*)$
Thật vậy:
$(*)\Leftrightarrow \frac{1}{x^2+x}\geq \frac{5-3x}{4}$
$\Leftrightarrow 4\geq (5-3x)(x^2+x)$
$\Leftrightarrow 4-(5-3x)(x^2+x)\geq 0$
$\Leftrightarrow (x-1)^2(3x+4)\geq 0$ (luôn đúng với mọi $x>0$)
Hoàn toàn tương tự:
$\frac{1}{y^2+y}\geq \frac{5}{4}-\frac{3y}{4}$
$\frac{1}{z^2+z}\geq \frac{5}{4}-\frac{3z}{4}$
Cộng theo vế các BĐT trên ta có:
$\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\geq \frac{15}{4}-\frac{3}{4}(x+y+z)=\frac{3}{2}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
áp dụngBĐT cô si ta có
\(\frac{x^2}{y+1}\)+\(\frac{y+1}{4}\)\(\ge\)x
\(\frac{y^2}{z+1}\)+\(\frac{z+1}{4}\)\(\ge\)y
\(\frac{z^2}{x+1}\)+\(\frac{x+1}{4}\)\(\ge\)z
khi đó VT\(\ge\)x+y+z-\(\frac{x+y+z+3}{4}\)=\(\frac{3\left(x+y+z\right)-3}{4}\)
áp dụng BĐT cô si
x+y+z\(\ge\)\(3\sqrt[3]{xyz}\)=3
do đó VT\(\ge\)\(\frac{6}{4}\)=\(\frac{3}{2}\) (đpcm)
\(\frac{x}{x+2}+\frac{y}{y+2}=2-2\left(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}\right)\le2-2.\frac{4}{x+2+y+2}=2-\frac{8}{4-z}\)
Cần CM: \(2-\frac{8}{4-z}+\frac{z}{z+8}\le\frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{8\left(z-2\right)^2}{3\left(4-z\right)\left(z+8\right)}\ge0\)
bđt trên đúng do \(4-z=\left(x+2\right)+\left(y+2\right)>0\)
Ta có \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{xyz}\left(x+y+z\right)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{xyz}=4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\)(vì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>0\))
Mặt khác, ta có : \(\frac{1}{x+y+z}=2\) .
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
=> x+y = 0 hoặc y + z = 0 hoặc z + x = 0
Từ đó suy ra P = 0 (lí do vì x,y,z là các số mũ lẻ)
a, Sửa đề \(x+y+z\le2+xy\)
Áp dụng bđt Cô-si có :
\(\left(x+y\right)+z\le\frac{\left(x+y\right)^2+1}{2}+\frac{z^2+1}{2}=\frac{x^2+2xy+y^2+1+z^2+1}{2}\)
\(=\frac{4+2xy}{2}\)
\(=2+xy\)
Dấu "=" khi x = 0 ; y = 1 ; z = 1
b,C/m tương tự câu a có \(x+y+z\le2+yz\)
\(x+y+z\le2zx\)
Ta có : \(P=\frac{x}{2+yz}+\frac{y}{2+zx}+\frac{z}{2+xy}\le\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}\)
\(=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)
Dấu "=" khi x = 0 ; y = 1 ; z = 1
các bạn bỏ giúp mình chữ z/x đằng sau đi nhé!! mình viết nhầm