Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bổ đề : \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)=x^2y+xy^2\)
C/m bổ đề : \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)
Vậy bổ đề đúng .
Áp dụng vào bài toán
\(\dfrac{1}{x^3+y^3+1}+\dfrac{1}{y^3+z^3+1}+\dfrac{1}{z^3+x^3+1}\le1\)
Ta có : \(x^3+y^3+1\ge xy\left(x+y\right)+1=xy\left(x+y\right)+xyz=xy\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^3+y^3+1}\le\dfrac{xyz}{xy\left(x+y+z\right)}=\dfrac{z}{x+y+z}\)
Chứng minh tương tự ta được : \(\dfrac{1}{y^3+z^3+1}\le\dfrac{x}{x+y+z}\)
\(\dfrac{1}{z^3+x^3+1}\le\dfrac{y}{x+y+z}\)
Cộng từng về ta được :
\(\dfrac{1}{x^3+y^3+1}+\dfrac{1}{y^3+z^3+1}+\dfrac{1}{z^3+x^3+1}\ge\dfrac{x+y+z}{x+y+z}=1\)
=> ĐPCM .
Bạn tự chứng minh hằng đẳng thức
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)
Mà x+y+z=0
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Tương tự bạn có \(x^6+y^6+z^6=3x^2y^2z^2\)
Thay vào là đc. Có chỗ nào chưa hiểu thì kb và k cho mk nha, mk sẽ chỉ rõ hơn
Có: \(x+y+z=0\)
CM được: \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\Leftrightarrow xy+xz+yz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(xy+xz+yz\right)^3=0\)
\(\Leftrightarrow x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3+3\left(xy+yz\right)\left(xz+yz\right)\left(xz+xy\right)=0\)(từ CT: (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)
\(\Leftrightarrow x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3+3xyz\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\)(Thế x+y=-z ; y+z=-x và x+z=-y)
\(\Leftrightarrow x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3=3x^2y^2z^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3\right)=6x^2y^2z^2\)(1)
Có: \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(\Leftrightarrow x^6+y^6+z^6+2\left(x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3\right)=9x^2y^2z^2\)(2)
Từ (1) và (2):
Có: \(x^6+y^6+z^6=3x^2y^2z^2\)
Cho nên: \(\frac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3}=\frac{3x^2y^2z^2}{3xyz}=xyz\)
Ta có :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)
Khi đó ta chứng minh được :
\(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3=3x^2y^2z^2\)
Mà \(x+y+z=0\)
\(\Rightarrow\)\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Từ đó ta suy ra :
\(\frac{x^6+y^6+z^6}{x^3+y^3+z^3}=\frac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^2-2\left(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3\right)}{x^3+y^3+z^3}\)
\(=\frac{\left(3xyz\right)^2-2.3.x^2y^2z^2}{3xyz}\)
\(=\frac{9x^2y^2z^2-6x^2y^2z^2}{3xyz}\)
\(=xyz\)( ĐPCM )
Hên xui thôi
\(\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}+3\)
\(< =>\dfrac{y+z}{x}+1+\dfrac{x+z}{y}+1+\dfrac{x+y}{z}+1\)
\(< =>\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{y}{y}+\dfrac{x+y}{z}+\dfrac{z}{z}\)
\(< =>\dfrac{x+y+z}{x}+\dfrac{x+y+z}{y}+\dfrac{x+y+z}{z}\) (1)
Thay x+y+z=0vào (1), ta có:\(\dfrac{0}{x}+\dfrac{0}{y}+\dfrac{0}{z}=0+0+0=0\)
Đầu tiên ta cm:\(a+b+c=0\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+\left(-a-b\right)^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3=3abc\)
\(\Leftrightarrow-3a^2b-3ab^2=3abc\)
\(\Leftrightarrow-3ab\left(a+b\right)=3abc\)
\(\Leftrightarrow-3ab\cdot\left(-c\right)=3abc\)(đúng)
Áp dụng:\(\Rightarrow xyz\cdot\left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}\right)=xyz\cdot\dfrac{3}{xyz}=3\left(đpcm\right)\)
