Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
Ta có : \(M=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\ge\frac{4}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}}\)
Mặt khác, theo bđt Bunhiacopxki : \(\left(1.\sqrt{1+x^2}+1.\sqrt{1+y^2}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(2+x^2+y^2\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}\le\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)
Do đó : \(M\ge\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\). Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2=8\\\sqrt{1+x^2}=\sqrt{1+y^2}\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=2\)(vì x,y >0)
Vậy \(MinM=\frac{2\sqrt{5}}{5}\Leftrightarrow x=y=2\)
1)
\(2x^2-2xy+5y^2-2x-2y+1=0.\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+1+2xy-2x-2y\right)+\left(x^2-4xy+4y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)^2+\left(2y-x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y-1=0\\2y-x=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\2y-x=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}y=\frac{1}{3}\\x=\frac{2}{3}\end{cases}}}\)
Bài 2 :
Ta có x , y , z là các số thực dương
Khi đó : \(5\left(x^2+y^2+z^2\right)-9x\left(y+z\right)-18yz=0\)
\(\Leftrightarrow5\frac{x^2}{\left(y+z\right)^2}+\frac{5\left(y^2+z^2\right)}{\left(y+z\right)^2}-\frac{9x}{y+z}-\frac{18yz}{\left(y+z\right)^2}=0\)
\(\Leftrightarrow5\left(\frac{x}{y+z}\right)^2-\frac{9x}{y+z}=\frac{18yz}{\left(y+z\right)^2}-\frac{5\left(y^2+z^2\right)}{\left(y+z\right)^2}\)
\(\le\frac{\frac{18\left(y+z\right)^2}{4}}{\left(y+z\right)^2}-\frac{\frac{5\left(y+z\right)^2}{2}}{\left(y+z\right)^2}=\frac{18}{4}-\frac{5}{2}=2\)
\(\Rightarrow5\left(\frac{x}{y+z}\right)^2-9.\frac{x}{y+z}\le2\)
Đặt \(\frac{x}{y+z}=a>0\) ta được : \(5a^2-9a-2\le0\)
\(\Leftrightarrow5a^2-10a+a-2\le0\Leftrightarrow\left(5a+1\right)\left(a-2\right)\le0\)
Dễ thấy :
\(5a+1>0\Rightarrow a-2\le0\Leftrightarrow a\le2\Leftrightarrow\frac{x}{y+z}\le2\)
Ta có :
\(Q=\frac{2x-y-z}{y+z}=\frac{2x}{y+z}-1\le2.2-1=3\)
Dấu " = '' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}y=z\\\frac{x}{y+z}=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=4y=4z\)
Vậy GTLN của \(Q=3\Leftrightarrow x=4y=4z\)
\(M\left(x+y+z\right)=\left(z^2+y^2+z^2\right)+2+\frac{\left(x^2+1\right)\left(y+z\right)}{x}+\frac{\left(y^2+1\right)\left(z+x\right)}{y}+\frac{\left(z^2+1\right)\left(x+y\right)}{z}\)
\(=5+\frac{\left(x^2+1\right)\left(y+z\right)}{x}+\frac{\left(y^2+1\right)\left(z+x\right)}{y}+\frac{\left(z^2+1\right)\left(x+y\right)}{z}\)
\(\ge5+2\left(y+z\right)+2\left(z+x\right)+2\left(x+y\right)=5+4\left(x+y+z\right)\) ( Sử dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương ý)
\(\Rightarrow M\ge\frac{5}{x+y+z}+4\)
Mặt khác: \(\left(x+y+z\right)^2\le\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)=9\)
\(\Rightarrow x+y+z\le3\)
Do đó: \(M\ge\frac{5}{3}+4=\frac{17}{3}\)
\(M=\frac{17}{3}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
\(\Rightarrow Min_A=\frac{17}{3}\)