\(A=\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}\) ,với
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

27 tháng 2 2020

Áp dụng bđt Cauchy hết nha

a) \(A=\sqrt{\left(a+1\right)\cdot\frac{3}{2}}\le\frac{a+1+\frac{3}{2}}{2}=\frac{a+\frac{5}{2}}{2}\). Dấu "=" \(\Leftrightarrow a+1=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}\)

+ Tương tự : \(\sqrt{\left(b+1\right)\cdot\frac{3}{2}}\le\frac{b+\frac{5}{2}}{2}\) Dấu "=" \(\Leftrightarrow b=\frac{1}{2}\)

Do đó : \(\sqrt{\frac{3}{2}}\cdot A\le\frac{a+b+5}{2}=3\) \(\Rightarrow A\le\sqrt{6}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

b) \(B=x\cdot x\left(1-2x\right)\le\left(\frac{x+x+1-2x}{3}\right)^3=\frac{1}{27}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow x=1-2x\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\)

c) \(C=\frac{1}{2}\left(2x+2\right)\left(1-2x\right)\le\frac{1}{2}\left(\frac{2x+2+1-2x}{2}\right)^2=\frac{9}{8}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow2x+2=1-2x\Leftrightarrow x=-\frac{1}{4}\)

27 tháng 2 2020

3. a) \(A=x+\frac{1}{x-1}=x-1+\frac{1}{x-1}+1\ge2\sqrt{\left(x-1\right)\cdot\frac{1}{x-1}}+1=3\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow x-1=\frac{1}{x-1}\Leftrightarrow x=2\)

Min \(A=3\Leftrightarrow x=2\)

b) \(B=\frac{4}{x}+\frac{1}{4y}=\frac{4}{x}+4x+\frac{1}{4y}+4y\cdot-4\left(x+y\right)\)

\(\ge2\sqrt{\frac{4}{x}\cdot4x}+2\sqrt{\frac{1}{4y}\cdot4y}-4\cdot\frac{5}{4}=5\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{4}{x}=4x\\\frac{1}{4y}=4y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

Min \(B=5\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

4. Chắc đề là tìm min???

\(C=a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge a+b+\frac{4}{a+b}=a+b+\frac{1}{a+b}+\frac{3}{a+b}\)

\(\ge2\sqrt{\left(a+b\right)\cdot\frac{1}{a+b}}+\frac{3}{1}=5\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\a+b=\frac{1}{a+b}\\a+b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Min \(C=5\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

27 tháng 2 2020

1. Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ta có:

\(\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\right)+\left(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)+\left(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\right)\)

\(\ge\frac{4}{2p-a-b}+\frac{4}{2p-b-c}+\frac{4}{2p-a-c}\) \(=\frac{4}{c}+\frac{4}{a}+\frac{4}{b}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c\)

2. Áp dụng bđt Cauchy ta có :

\(a\sqrt{b-1}=a\sqrt{\left(b-1\right)\cdot1}\le a\cdot\frac{b-1+1}{2}=\frac{ab}{2}\) . Dấu "=" \(\Leftrightarrow b-1=1\Leftrightarrow b=2\)

+ Tương tự : \(b\sqrt{a-1}\le\frac{ab}{2}\). Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=2\)

Do đó: \(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\). Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=2\)

4 tháng 3 2020

mình sửa lại bài 3 ý a, \(\left|5x-3\right|< 2\)

NV
16 tháng 6 2020

\(A=1-cos^2x+2cosx+1=3-\left(cosx-1\right)^2\le3\)

\(A_{max}=3\) khi \(cosx=1\)

\(B=1-sin^2x-2sin^2x-3=-1-\left(sinx+1\right)^2\le-1\)

\(B_{max}=-1\) khi \(sinx=-1\)

\(A=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(2cos^2\frac{x}{2}-1\right)}}}\)

\(=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{cos^2\frac{x}{2}}}}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos\frac{x}{2}}}\)

\(=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(2cos^2\frac{x}{4}-1\right)}}\)

\(=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{cos^2\frac{x}{4}}}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos\frac{x}{4}}\)

\(=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(2cos^2\frac{x}{8}-1\right)}=\sqrt{cos^2\frac{x}{8}}=cos\frac{x}{8}\)

\(B=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+2\left(2cos^2\frac{a}{2}-1\right)}}}\)

\(=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{4cos^2\frac{a}{2}}}}=\sqrt{2+\sqrt{2+2cos\frac{a}{2}}}\)

\(=\sqrt{2+\sqrt{2+2\left(cos^2\frac{a}{4}-1\right)}}=\sqrt{2+\sqrt{4cos^2\frac{a}{4}}}\)

\(=\sqrt{2+2cos\frac{a}{4}}=\sqrt{2+2\left(2cos^2\frac{a}{8}-1\right)}=2cos\frac{a}{8}\)

7 tháng 4 2017

a) Tương đương. vì nhân hai vế bất phương trình thứ nhất với -1 và đổi chiều bất phương trình thì được bất phương trình thứ 2.

b) Chuyển vế các hạng tử vế phải và đổi dấu ở bất phương trình thứ nhất thì được bất phương trình thứ tương đương.

c) Tương đương. Vì cộng hai vế bất phương trình thứ nhất với với mọi x ta được bất phương trình thứ 3.

d) Điều kiện xác định bất phương trình thứ nhất: D ={x ≥ 1}.

2x + 1 > 0 ∀x ∈ D. Nhân hai vế bất phương trình thứ hai. Vậy bất phương trình tương đương.