Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\dfrac{a_1-1}{100}=\dfrac{a_2-2}{99}=\dfrac{a_3-3}{98}=....=\dfrac{a_{100}-100}{1}=\dfrac{a_1-1+a_2-2+a_3-3+...+a_{100}-100}{100+99+98+...+1}=\dfrac{\left(a_1+a_2+a_3+....+a_{100}\right)-\left(1+2+3+...+100\right)}{100+99+98+....+1}=\dfrac{10100-5050}{5050}=\dfrac{5050}{5050}=1\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a_1-1}{100}=1\Leftrightarrow a_1=1.100+1=101\\\dfrac{a_2-2}{99}=1\Leftrightarrow a_2=1.99+2=101\\..........................................\\\dfrac{a_{100}-100}{1}=1\Leftrightarrow a_{100}=1.1+100=101\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a_1=a_2=a_3=...=a_{100}=101\)
Câu 1:
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(1+x^3+y^3\geq 3\sqrt[3]{x^3y^3}=3xy\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\geq \frac{\sqrt{3xy}}{xy}=\sqrt{\frac{3}{xy}}\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\geq \sqrt{\frac{3}{yz}}; \frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}\geq \sqrt{\frac{3}{xz}}\)
Cộng theo vế các BĐT thu được:
\(\text{VT}\geq \sqrt{\frac{3}{xy}}+\sqrt{\frac{3}{yz}}+\sqrt{\frac{3}{xz}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{27}{x^2y^2z^2}}=3\sqrt[6]{27}=3\sqrt{3}\) (Cauchy)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$
Câu 4:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}\right)(x+y)\geq (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2\)
\(\Leftrightarrow 1.(x+y)\geq (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2\Rightarrow x+y\geq 5+2\sqrt{6}\)
Vậy \(A_{\min}=5+2\sqrt{6}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=2+\sqrt{6}; y=3+\sqrt{6}\)
------------------------------
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{a^2+b^2}{4ab}\geq 2\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}.\frac{a^2+b^2}{4ab}}=1\)
\(a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow \frac{3(a^2+b^2)}{4ab}\geq \frac{6ab}{4ab}=\frac{3}{2}\)
Cộng theo vế hai BĐT trên:
\(\Rightarrow B\geq 1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\) hay \(B_{\min}=\frac{5}{2}\). Dấu bằng xảy ra khi $a=b$
Bài 1 :
Tự bấm máy tính nhé!
Bài 2 :
\(25\le5.5^n\le125\)
\(\Leftrightarrow5^2\le5^{n-1}\le5^3\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n-1=2\\n-1=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=3\\n=4\end{matrix}\right.\) \(\left(tm\right)\)
Vậy ...............
Bài 3 :
Ta có :
\(3.24^{100}=3.3^{100}.8^{100}=3^{101}.\left(2^3\right)^{100}=3^{101}.2^{300}\left(1\right)\)
Lại có :
\(4^{300}=\left(2.2\right)^{300}=2^{300}.2^{300}=2^{2.150}.2^{300}=\left(2^2\right)^{150}.2^{300}=4^{150}.2^{300}\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrow3^{101}.3^{300}< 4^{150}.2^{300}\left(3^{101}< 4^{150}\right)\)
\(\Leftrightarrow4^{300}>3.24^{100}\)
\(\Leftrightarrow4^{300}+3^{300}-2^{300}>3.24^{100}\)
a)\(\dfrac{x+1}{x^2+x+1}-\dfrac{x-1}{x^2-x+1}=\dfrac{3}{x\left(x^4+x^2+1\right)}\left(1\right)\)
ĐK:\(x\ne0\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\dfrac{x^3+1-\left(x^3-1\right)}{\left(x^2+1+x\right)\left(x^2+1-x\right)}=\dfrac{3}{x\left(x^4+x^2+1\right)}\\ \Leftrightarrow\dfrac{2}{\left(x^2+1\right)^2-x^2}=\dfrac{3}{x\left(x^4+x^2+1\right)}\\ \Leftrightarrow\dfrac{2x-3}{x\left(x^4+x^2+1\right)}=0\Rightarrow2x-3=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\left(TM\right)\)
\(\dfrac{9-x}{2009}+\dfrac{11-x}{2011}=2\Leftrightarrow\left(\dfrac{9-x}{2009}-1\right)+\left(\dfrac{11-x}{2011}-1\right)=0\Leftrightarrow\dfrac{-2000-x}{2009}+\dfrac{-2000-x}{2011}=0\\ \Leftrightarrow\left(-2000-x\right)\left(\dfrac{1}{2009}+\dfrac{1}{2011}\right)=0\Rightarrow x=-2000\)
Lời giải:
Ta có:
\(\text{VT}=\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}+b-\frac{bc^2}{c^2+1}+c-\frac{ca^2}{a^2+1}\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}=3-\left(\frac{ab^2}{b^2+1}+\frac{bc^2}{c^2+1}+\frac{ca^2}{a^2+1}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(b^2+1\geq 2b,c^2+1\geq 2c, a^2+1\geq 2a\)
\(\Rightarrow \frac{ab^2}{b^2+1}+\frac{bc^2}{c^2+1}+\frac{ca^2}{a^2+1}\leq \frac{ab+bc+ac}{2}\)
Mà \(ab+bc+ac\leq \frac{1}{3}(a+b+c)^2=3\Rightarrow \frac{ab^2}{b^2+1}+\frac{bc^2}{c^2+1}+\frac{ca^2}{a^2+1}\leq \frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \text{VT}\geq 3-\frac{3}{2}\Leftrightarrow \text{VT}\geq \frac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Bài 1:
Biểu thức chỉ có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất.
\(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}=1-\frac{1}{x+1}+1-\frac{1}{y+1}+1-\frac{1}{z+1}\)
\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
Giờ chỉ cần cho biến $x$ nhỏ vô cùng đến $0$, khi đó giá trị biểu thức trong ngoặc sẽ tiến đến dương vô cùng, khi đó P sẽ tiến đến nhỏ vô cùng, do đó không có min
Nếu chuyển tìm max thì em tìm như sau:
Áp dụng BĐT Cauchy_Schwarz:
\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq \frac{(1+1+1)^2}{x+1+y+1+z+1}=\frac{9}{x+y+z+3}=\frac{9}{4}\)
Do đó: \(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\leq 3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)
Vậy \(P_{\min}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
Bài 2:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :
\(\frac{1}{a+3b+2c}=\frac{1}{9}\frac{9}{(a+c)+(b+c)+2b}\leq \frac{1}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{ab}{a+3b+2c}\leq \frac{1}{9}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{a}{2}\right)\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\frac{bc}{b+3c+2a}\leq \frac{1}{9}\left(\frac{bc}{b+a}+\frac{bc}{c+a}+\frac{b}{2}\right)\)
\(\frac{ac}{c+3a+2b}\leq \frac{1}{9}\left(\frac{ac}{c+b}+\frac{ac}{a+b}+\frac{c}{2}\right)\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{1}{9}\left(\frac{b(a+c)}{a+c}+\frac{a(b+c)}{b+c}+\frac{c(a+b)}{a+b}+\frac{a+b+c}{2}\right)\)
hay \(\text{VT}\leq \frac{a+b+c}{6}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
giúp mình với nha mọi ngườiBài 1 : Đồ thị đi qua điểm M(4;-3) \(\Rightarrow\) y=-3 x=4. Ta được:
\(-3=4a+b\)
Đồ thị song song với đường d \(\Rightarrow\) \(a=a'=-\dfrac{2}{3}\) Ta được:
\(-3=4.-\dfrac{2}{3}+b\) \(\Rightarrow\) \(b=-\dfrac{1}{3}\)
Vậy: \(a=-\dfrac{2}{3};b=-\dfrac{1}{3}\)
b) (P) đi qua 3 điểm A B O, thay tất cả vào (P), ta được hpt:
\(\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\a-b-c=-3\\0+0+1=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-1\\b=2\\c=0\end{cases}}}\)
Bài 2 : Mình ko biết vẽ trên này, bạn theo hướng dẫn rồi tự làm nhé
Đồ thị có \(a< 0\) \(\Rightarrow\) Hàm số nghịch biến trên R
\(\Rightarrow\) Đồ thị có đỉnh \(I\left(1;4\right)\)
Chọn các điểm:
x 1 3 -1 2 -2
y 4 0 0 3 -5
\(\dfrac{1+2+2^2+2^3+...+2^{2008}}{1-2^{2009}}=\dfrac{\left(2-1\right).\left(1+2+2^2+2^3+...+2^{2008}\right)}{1-2^{2009}}=\dfrac{2^{2009}-1}{1-2^{2009}}=-1\)