Question

[nguyenhuuhung]

Bài 1:Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, các tia phân giác của các góc AMB , AMC cắt AB, AC theo thứ tự ở D và E

a) Chứng minh DE // BC

b) Cho BC = a, AM = m. Tính độ dài DE

c) Tìm tập hợp các giao diểm I của AM và DE nếu ABC có BC cố định, AM = m không đổi

d) ABC có điều kiện gì thì DE là đường trung bình của nó

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔAMB có MD là phân giác của góc AMB

nên \(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AM}{MC}\left(1\right)\)

Xét ΔAMC có ME là phân giác của góc AMC

nên \(\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AM}{MC}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}\)

Xét ΔABC có \(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}\)

nên DE//BC

b: Gọi I là giao điểm của AM và DE

Xét ΔABM có DI//BM

nên \(\dfrac{DI}{BM}=\dfrac{AI}{AM}\left(3\right)\)

Xét ΔAMC có IE//MC

nên \(\dfrac{IE}{MC}=\dfrac{AI}{AM}\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(\dfrac{DI}{BM}=\dfrac{IE}{MC}\)

mà BM=MC

nên DI=IE

=>I là trung điểm của DE

Xét ΔAMB có MD là phân giác

nên \(\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AD}{DB}\)

=>\(\dfrac{DB}{AD}=\dfrac{MB}{AM}\)

=>\(\dfrac{DB+AD}{AD}=\dfrac{MB+AM}{AM}\)

=>\(\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{\dfrac{a}{2}+m}{m}\)

=>\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{m}{\dfrac{a}{2}+m}=m:\dfrac{a+m}{2}=\dfrac{2m}{a+m}\)

XétΔABC có DE//BC

nên \(\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}\)

=>\(\dfrac{DE}{a}=\dfrac{2m}{a+m}\)

=>\(DE=\dfrac{2ma}{a+m}\)

d: Để DE là đường trung bình của ΔABC thì D,E lần lượt là trung điểm của AB,AC

Xét ΔMAB có

MD là đường trung tuyến

MD là đường phân giác

Do đó: ΔMAB cân tại M

=>MA=MB

Xét ΔMAC có

ME là đường phân giác

ME là đường trung tuyến

Do đó: ΔMAC cân tại M

=>MA=MC

mà MA=MB

nên MB=MC

=>M là trung điểm của BC

Xét ΔABC có

AM là đường trung tuyến

\(AM=\dfrac{BC}{2}\)

Do đó: ΔABC vuông tại A

=>\(\widehat{BAC}=90^0\)

Answer 2

[Thu Giang]

Đây nhiii