Question

[Nguyễn Ngọc Gia Linh]

Bài 1:

A = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹⁸.  Tìm số dư khi chia A cho 5.

Bài 2: Chứng minh rằng nếu:

a₁ + a₂  + ... + a_n  =  0 ( mod 30 )

Thì: a₁⁵  +  a₂⁵  +  ... + a_n⁵  =  0 ( mod 30 )

Answer 1

[Nguyễn Linh Chi]

1. \(A=\left(2^0+2^2+2^4+...+2^{2018}\right)+\left(2^1+2^3+...+2^{2017}\right)\)

\(=\left(1+2^2\right)+\left(2^4+2^6\right)+...+\left(2^{2016}+2^{2018}\right)+2^1+\left(2^3+2^5\right)+...+\left(2^{2015}+2^{2017}\right)\)

\(=\left(1+2^2\right)+2^4\left(1+2^2\right)+...+2^{2016}\left(1+2^2\right)+2^1+2^3\left(1+2^2\right)+...+2^{2015}\left(1+2^2\right)\)

\(=5\left(1+2^4+...+2^{2016}\right)+2+5\left(2^3+...+2^{2015}\right)\)chia 5 dư 2

Nhận xét: Vì 1+2² =5 chia chết cho 5. Ghép các cặp đôi sao cho xuất hiện 1+2²

2,

Nhận xét: Với a không chia hết cho  5

Ta có: a⁴ đồng dư với 1 module 5 hay a⁴-1 chia hết cho 5 với mọi a không chia hết cho 5

Suy ra a⁵-a=a(a⁴-1) chia hết cho 5 với mọi a thuộc Z

a(a⁴-1)=a(a²-1)(a²+1) =a(a-1)(a+1)(a²+1) chia hết cho 2 và chia hết cho 3 vì a(a+1) là 2 số nguyên liên tiếp, a(a+1)(a-1) là 3 số nguyên liên tiếp

Vậy a⁵-a chia hết cho 30 (=2.3.5) vì (2,3,5)=1

(a₁⁵ + a₂⁵ + ... + a_n⁵) -(a₁ + a₂+...+a_n) =( a₁⁵-a₁)+...+(a_n⁵-a_n) chia hết cho 30

Mà a₁ + a₂+...+a_n chia hết cho 30 

Vậy a₁⁵ + a₂⁵ + ... + a_n⁵ chia hết cho 30 hay a₁⁵ + a₂⁵ + ... + a_n⁵ = 0 (mod 30)