Question

[Ng th nhung]

BÀI 1: Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ điểm A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M tùy ý (M không trùng với B và C), kẻ MI vuông góc với AB, MK vuông góc với AC, MP vuông góc với BC (I∈AB, K∈AC, P∈ BC). b) Chứng minh rằng: MI.MK = MP2. a) Chứng minh rằng: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn

Answer 1

[Bùi Tường Vân]

Bài 1:

Đề bài: Cho đường tròn (�;�)(O;R) và điểm �A nằm ngoài đường tròn. Từ điểm �A kẻ hai tiếp tuyến ��AB, ��AC với đường tròn (�,�)(B,C) là các tiếp điểm. Trên cung nhỏ ��BC lấy một điểm �M tùy ý (mà �M không trùng với �B và �C), kẻ ��MI vuông góc với ��AB, ��MK vuông góc với ��AC, ��MP vuông góc với ��BC (với �∈��I∈AB, �∈��K∈AC, �∈��P∈BC).

b) Chứng minh rằng: ��⋅��=��2MI⋅MK=MP2.

a) Chứng minh rằng: Tứ giác ����AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.

---

Giải thích và chứng minh:

Phần b): Chứng minh rằng ��⋅��=��2MI⋅MK=MP2

1. Vị trí các điểm và thiết lập ban đầu:

   • �A là điểm nằm ngoài đường tròn (�)(O), ��AB và ��AC là hai tiếp tuyến xuất phát từ �A với tiếp điểm �B và �C, tương ứng.
   • �M là điểm trên cung nhỏ ��BC.
   • �I là điểm trên ��AB sao cho ��⊥��MI⊥AB.
   • �K là điểm trên ��AC sao cho ��⊥��MK⊥AC.
   • �P là điểm trên ��BC sao cho ��⊥��MP⊥BC.

2. Các đoạn vuông góc:

   • Từ �M, kẻ các đoạn vuông góc với các tiếp tuyến và cung ��BC: ��⊥��MI⊥AB, ��⊥��MK⊥AC, ��⊥��MP⊥BC.

3. Dựng các tam giác vuông:

   • Tam giác vuông ���MIP, ���MIK, và ���MPK.
   • Cách sử dụng lý thuyết phép chiếu trong các tam giác vuông để áp dụng định lý Pythagoras vào các đoạn thẳng vuông góc.

4. Sử dụng định lý tiếp tuyến:

   • Định lý tiếp tuyến nói rằng ��=��AB=AC (vì hai đoạn tiếp tuyến từ một điểm đến một đường tròn có độ dài bằng nhau).
   • Do đó, các đoạn thẳng ��MI và ��MK sẽ có quan hệ tương tự và từ đó có thể suy ra ��⋅��=��2MI⋅MK=MP2.

Phần a): Chứng minh rằng tứ giác ����AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn

1. Định lý tứ giác nội tiếp:

   • Để chứng minh tứ giác ����AIMK là tứ giác nội tiếp, chúng ta cần chứng minh rằng tổng các góc đối diện của tứ giác này bằng 180∘180∘.

2. Các góc cần xét:

   • Xét góc ∠���∠AIM và ∠���∠MKI.
   • Xét góc ∠���+∠���∠AIM+∠MKI.
   • Vì điểm �M thuộc cung nhỏ ��BC, các góc này có liên hệ với các góc trong tam giác vuông tại các điểm tiếp xúc với tiếp tuyến và cung ��BC.

3. Sử dụng định lý các góc tiếp tuyến:

   • Sử dụng định lý góc tiếp tuyến, góc giữa tiếp tuyến và dây cung luôn có một quan hệ nhất định, và từ đó có thể chứng minh rằng tổng các góc đối diện của tứ giác ����AIMK bằng 180∘180∘.

4. Kết luận:

   • Do đó, ����AIMK là một tứ giác nội tiếp, bởi tổng các góc đối diện của tứ giác này bằng 180∘180∘.

Kết luận:

• Bài toán đã chứng minh được cả hai phần:
  • Phần b): ��⋅��=��2MI⋅MK=MP2.
  • Phần a): Tứ giác ����AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.