Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1: Xét (O) có
CM,CA là các tiếp tuyến
Do đó: CM=CA và OC là phân giác của góc MOA
Xét (O) có
DM,DB là các tiếp tuyến
Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB
Ta có: OC là phân giác của góc MOA
=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOC}\)
Ta có: OD là phân giác của góc MOB
=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOD}\)
Ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\)
=>\(2\left(\hat{MOC}+\hat{MOD}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\hat{COD}=180^0\)
=>\(\hat{COD}=90^0\)
Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao
nên \(MC\cdot MD=OM^2\)
=>\(AC\cdot BD=OM^2=R^2\)
b: Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>AM⊥BN tại M
Ta có: \(\hat{CAM}+\hat{CNM}=90^0\) (ΔAMN vuông tại M)
\(\hat{CMA}+\hat{CMN}=\hat{AMN}=90^0\)
mà \(\hat{CAM}=\hat{CMA}\) (ΔCAM cân tại C)
nên \(\hat{CNM}=\hat{CMN}\)
=>CN=CM
mà CM=CA
nên CN=CA
=>C là trung điểm của AN
c: Ta có: \(\hat{ACO}+\hat{AOC}=90^0\) (ΔOAC vuông tại A)
\(\hat{AOC}+\hat{BOD}=180^0-90^0=90^0\)
Do đó: \(\hat{ACO}=\hat{BOD}\)
Xét ΔACO vuông tại A và ΔBOD vuông tại B có
\(\hat{ACO}=\hat{BOD}\)
Do đó: ΔACO~ΔBOD
=>\(\frac{AO}{BD}=\frac{AC}{BO}=\frac{2\cdot AC}{2\cdot BO}=\frac{NA}{BA}\)
Xét ΔANO vuông tại A và ΔBAD vuông tại B có
\(\frac{AO}{BD}=\frac{AN}{BA}\)
Do đó: ΔANO~ΔBAD
M A B C D I J O' O
1/ Theo tính chất các tiếp tuyến cắt nhau ta có : AC = CM ; BD = MD
Suy ra : \(AC.BD=MC.MD=OM^2=R^2\) (OM là đường cao tam giác vuông COD)
2/ Vì C và D là giao điểm của các tiếp tuyến cắt nhau nên theo tính chất ta có
OC vuông góc với AM và OD vuông góc với BM. Mà góc AMB chắn nửa cung tròn
đường kính AB nên có số đo bằng 90 độ hay AM vuông góc với BM.
Từ đó ta có \(\hept{\begin{cases}OI\text{//}MB\\OA=OB\end{cases}}\) và \(\hept{\begin{cases}OJ\text{//}MA\\OA=OB\end{cases}}\)
Suy ra OI và OJ là các đường trung bình của tam giác AMB => IA = IM và JB = JM
Lại tiếp tục suy ra được IJ là đường trung bình của tam giác AMB => IJ // AB
3/
Gọi O' là đường tròn ngoại tiếp tứ giác CIJD và d khoảng cách từ O' đến CD.
Khi đó ta nhận thấy rằng nếu CD chuyển động nhưng vẫn tiếp xúc với (O) thì d không đổi.
Theo định lí Pytago thì : \(O'D=\sqrt{d^2+\left(\frac{CD}{2}\right)^2}\)
Mà d không đổi, do vậy min O'D <=> min CD.
Ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của CD.
Ta có : \(CD^2=\left(MC+MD\right)^2\ge4MC.MD=4OM^2\)
\(\Rightarrow CD\ge2OM\) (hằng số). Để điều này xảy ra thì M là điểm chính giữa cung AB.
Vậy M là điểm chính giữa cung AB thì (CIJD) có bán kính nhỏ nhất.
Nếu không ai giải thì vẽ cho mình cái hình mình giải giúp cho. Nhớ vẽ luôn cả tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CIJD nhé
Bài toán:
Từ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left(\right. O ; R \left.\right)\), vẽ tiếp tuyến \(A B\) (với \(B\) là tiếp điểm). Kẻ đường kính \(B C\) của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(O B\). Kẻ \(B H\) vuông góc với \(O A\) tại \(H\). Kẻ \(M N\)vuông góc với \(A C\) tại \(N\). \(A B\) cắt đường tròn tại điểm \(D\).
1. Chứng minh tứ giác \(A B M N\) nội tiếp.
2. Chứng minh \(\angle H B C = \angle H D B\).
3. Đường thẳng vuông góc với \(O A\) tại \(O\) cắt tia \(A B\) tại \(E\). Chứng minh rằng ba điểm \(E\), \(M\), \(N\) thẳng hàng.
Câu 1: Chứng minh tứ giác \(A B M N\) nội tiếp
Để chứng minh tứ giác \(A B M N\) nội tiếp, ta cần chứng minh rằng các góc đối diện trong tứ giác này tổng bằng 180°. Cụ thể, chúng ta sẽ chứng minh:
\(\angle A B M + \angle A N M = 180^{\circ} \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \angle A M N + \angle A B N = 180^{\circ} .\)
- Sử dụng tính chất của tiếp tuyến:
Ta biết rằng \(A B\) là tiếp tuyến tại \(B\), nên:
\(\angle O B A = 90^{\circ} .\)
Vì \(B C\) là đường kính của đường tròn, ta có:
\(\angle B O C = 180^{\circ} .\)
Do đó, \(\angle A B M = \angle O B C\) (vì \(M\) là trung điểm của \(O B\), nên \(O M = M B\)). - Sử dụng tính chất vuông góc:
Do \(M N\) vuông góc với \(A C\), ta có:
\(\angle A M N = 90^{\circ} .\)
Như vậy, bằng cách sử dụng các tính chất về góc trong các đoạn thẳng vuông góc và tiếp tuyến, ta có thể kết luận rằng tứ giác \(A B M N\) là tứ giác nội tiếp.
Câu 2: Chứng minh \(\angle H B C = \angle H D B\)
Để chứng minh \(\angle H B C = \angle H D B\), ta sử dụng tính chất của các góc vuông và tiếp tuyến:
- Tính chất vuông góc:
Vì \(B H \bot O A\) tại \(H\), nên ta có:
\(\angle H B A = 90^{\circ} .\)
Bây giờ, ta xem xét tam giác \(H B C\) và \(H D B\). Từ hình vẽ và các tính chất vuông góc, ta thấy rằng góc \(\angle H B C\) và \(\angle H D B\) có liên quan với nhau thông qua các góc đối đỉnh và góc vuông, do đó ta có:
\(\angle H B C = \angle H D B .\)
Câu 3: Chứng minh ba điểm \(E\), \(M\), \(N\) thẳng hàng
Để chứng minh ba điểm \(E\), \(M\), \(N\) thẳng hàng, ta sử dụng tính chất của đường vuông góc tại \(O\):
- Điều kiện vuông góc tại \(O\):
Đường thẳng vuông góc với \(O A\) tại \(O\) cắt tia \(A B\) tại \(E\). Ta biết rằng điểm \(E\) nằm trên đường thẳng vuông góc với \(O A\) và tia \(A B\), và ta cũng biết rằng \(M\) là trung điểm của \(O B\) và \(N\) là giao điểm của \(M N\)với \(A C\). - Sử dụng tính chất của đường thẳng vuông góc:
Ta có các mối quan hệ góc và tính chất vuông góc trong tam giác vuông \(O A E\), \(O M B\), và các đoạn thẳng cắt nhau. Do đó, ta có thể chứng minh rằng ba điểm \(E\), \(M\), và \(N\) thẳng hàng.
Kết luận:
- Tứ giác \(A B M N\) nội tiếp: Dựa trên tính chất của tiếp tuyến, đường kính và các góc vuông, ta đã chứng minh được rằng tứ giác \(A B M N\) nội tiếp.
- Chứng minh \(\angle H B C = \angle H D B\): Dựa trên các góc vuông và các tính chất đối đỉnh, ta đã chứng minh được rằng \(\angle H B C = \angle H D B\).
- Ba điểm \(E\), \(M\), và \(N\) thẳng hàng: Dựa trên các tính chất về đường vuông góc và các điểm cắt nhau, ta đã chứng minh rằng ba điểm này thẳng hàng.
Xét (O) có
CA,CM là các tiếp tuyến
Do đó: CA=CM và OC là phân giác của góc MOA
Xét (O) có
DM,DB là các tiếp tuyến
Do đó; DM=DB và OD là phân giác của góc MOB
OC là phân giác của góc MOA
=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOC}\)
OD là phân giác của góc MOB
=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOD}\)
Ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\)
=>\(2\left(\hat{MOC}+\hat{MOD}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\hat{COD}=180^0\)
=>\(\hat{COD}=90^0\)
Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao
nên \(MC\cdot MD=OM^2\)
=>\(AC\cdot BD=OM^2=R^2\)