Question

[Mai's Anh's Nek's]

Bài 1.  Cho ΔABC cân tại A. Trên tia đối của các tia BA và CA lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE.

a) Chứng minh: DE // BC.

b) Chứng minh: BE = CD.

c) BE và CD cắt nhau tại K. Chứng minh: ΔKBC và ΔKDE cân.

d) Chứng minh: AK là tia phân giác của góc BAC.

e) Từ D, E kẻ DM, EN ⊥ BC. Chứng minh: DM = EN.

f) Chứng minh: ΔAMN cân.

Bài 2.  Cho ΔABC có góc A nhọn. Kẻ tia Ax ⊥ AB (tia AC nằm giữa Ax và AB ). Kẻ tia Ay ⊥ AC (tia AB nằm giữa Ay và AC). Lấy điểm E và F lần lượt thuộc tia Ax và Ay sao cho AE = AB và AC = AF

a) Chứng minh: BF = CE.

b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BF và CE. Chứng minh: ΔAMN vuông cân.

Bài 3.  Trên cạnh BC của ΔABC lấy 2 điểm E và F sao cho BE = CF. Qua E và F vẽ các đường thẳng song song với BA chúng cắt cạnh AC tại G và H. Qua E vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại D.

a) Chứng minh: AD = GE.

b) Chứng minh: ΔBDE = ΔFHC.

c) Chứng minh: AB = GE + FH.

Bài 4.  Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 2AC. Gọi E là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AB = AD. Chứng minh rằng: BC ⊥ DE.

Bài 5.   Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm cạnh BC, E là điểm nằm giữa M và C. Vẽ BH ⊥ AE tại H và CK ⊥ AE tại K. CMR:

a) BH = AK

b) ΔMBH = ΔMAK

c) ΔMHK vuông cân.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Bài 1: 

a) Ta có: AB+BD=AD(B nằm giữa A và D)

AC+CE=AE(C nằm giữa A và E)

mà AB=AC(ΔABC cân tại A)

và BD=CE(gt)

nên AD=AE

Xét ΔADE có AD=AE(gt)

nên ΔADE cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)

⇒\(\widehat{ADE}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(Số đo của một góc ở đáy trong ΔADE cân tại A)(1)

Ta có: ΔABC cân tại A(gt)

nên \(\widehat{ABC}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(Số đo của một góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ABC}=\widehat{ADE}\)

mà \(\widehat{ABC}\) và \(\widehat{ADE}\) là hai góc ở vị trí đồng vị

nên BC//DE(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

b) Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{DBC}=180^0\)(hai góc kề bù)

\(\widehat{ACB}+\widehat{ECB}=180^0\)(hai góc kề bù)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

nên \(\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\)

Xét ΔDBC và ΔECB có 

DB=EC(gt)

\(\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\)(cmt)

BC chung

Do đó: ΔDBC=ΔECB(c-g-c)

Suy ra: DC=EB(hai cạnh tương ứng)

c) Ta có: ΔDBC=ΔECB(cmt)

nên \(\widehat{DCB}=\widehat{EBC}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{KBC}=\widehat{KCB}\)

Xét ΔKBC có \(\widehat{KBC}=\widehat{KCB}\)(cmt)

nên ΔKBC cân tại K(Định lí đảo của tam giác cân)

⇒KB=KC(Hai cạnh bên)

Ta có: KB+KE=BE(K nằm giữa B và E)

KC+KD=CD(K nằm giữa C và D)

mà KB=KC(cmt)

và BE=CD(cmt)

nên KE=KD

Xét ΔKED có KE=KD(cmt)

nên ΔKED cân tại K(Định nghĩa tam giác cân)

d) Xét ΔBAK và ΔCAK có

BA=CA(ΔABC cân tại A)

AK chung

BK=CK(cmt)

Do đó: ΔBAK=ΔCAK(c-c-c)

Suy ra: \(\widehat{BAK}=\widehat{CAK}\)(hai góc tương ứng)

mà tia AK nằm giữa hai tia AB,AC

nên AK là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(đpcm)

e) Ta có: \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(Hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{DBM}\)(hai góc đối đỉnh)

và \(\widehat{ACB}=\widehat{ECN}\)(hai góc đối đỉnh)

nên \(\widehat{DBM}=\widehat{ECN}\)

Xét ΔDBM vuông tại M và ΔECN vuông tại N có

BD=CE(gt)

\(\widehat{DBM}=\widehat{ECN}\)(cmt)

Do đó: ΔDBM=ΔECN(cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: DM=EN(hai cạnh tương ứng)

f) Ta có: ΔDBM=ΔECN(cmt)

nên BM=CN(hai cạnh tương ứng)

Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ABM}=180^0\)(hai góc kề bù)

\(\widehat{ACB}+\widehat{ACN}=180^0\)(hai góc kề bù)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

nên \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)

Xét ΔABM và ΔACN có

AB=AC(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)(cmt)

BM=CN(cmt)

Do đó: ΔABM=ΔACN(c-g-c)

Suy ra: AM=AN(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔAMN có AM=AN(cmt)

nên ΔAMN cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)