ND
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
ND
0
P
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 2 2022
\(a^3+a^3+1\ge3\sqrt[3]{a^3.a^3.1}=3a^2\)
Tương tự: \(2b^3+1\ge3b^2\) ; \(2c^3+1\ge3c^2\)
\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)
\(A_{min}=3\) khi \(a=b=c=1\)
Lại có: \(\left\{{}\begin{matrix}a;b;c\ge0\\a^2+b^2+c^2=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le a;b;c\le\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow a^2\left(a-\sqrt{3}\right)\le0\Rightarrow a^3\le\sqrt{3}a^2\)
Tương tự: \(b^3\le\sqrt{3}b^2\) ; \(c^3\le\sqrt{3}c^2\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\le\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)=3\sqrt{3}\)
\(A_{max}=3\sqrt{3}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;\sqrt{3}\right)\) và các hoán vị
PN
14 tháng 7 2020
Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số thực dương ta có :
\(a^2b+b^2c+c^2a\ge3\sqrt[3]{a^2bb^2cc^2a}=3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)
Khi đó :\(P\ge3abc=\left(a+b+c\right)\left(abc\right)\)
...
VQ
23 tháng 5 2022
a2+b2+c2=4−abc≤4
Smax=4 khi 1 trong 3 số bằng 0
4=abc+a2+b2+c2≥abc+33√(abc)2
Đặt 3√abc=x>0⇒x3+3x2−4≤0
⇔(x−1)(x+2)2≤0⇒x≤1
⇒abc≤1⇒S=4−abc≥3
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
23 tháng 5 2022
Min là hoán vị a=b=0 c=2 ; a=c=0 b=2 ; b=c=0 a=2 mà :vv
mà thôi Min làm đr còn max
TKS
30 tháng 1 2019
1,\(T=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=20\left(a^2-ab+b^2\right)=\)
\(=10\left(a^2-2ab+b^2\right)+10\left(a^2+b^2\right)\)
\(\ge10\left(a-b\right)^2+5.\left(a+b\right)^2\ge0+5.20^2=2000\)
2,a,\(\sqrt{a}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-2}=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{a}+b-2\sqrt{b-1}+c-2\sqrt{c-2}=0\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{a}+1+b-1-2\sqrt{b-1}+1+c-2+2\sqrt{c-2}+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-1\right)^2+\left(\sqrt{b-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{c-2}-1\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\\c=3\end{cases}}\)
b,sai đề
30 tháng 1 2019
Xét \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\Rightarrow10\ge\sqrt{ab}\Leftrightarrow100\ge ab\)
\(T=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=20\left(a^2-ab+b^2\right)=20\left[a^2+2ab+b^2-3ab\right]=20\left(20\right)^2-6ab\)
\(T\ge20.20^2-6.100=7400\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 1
Biểu thức này có vẻ chỉ tìm được min chứ ko tìm được max:
Min:
\(P^2=a+b+c+a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+2\sqrt{\left(a+b^3c^3\right)\left(b+c^3a^3\right)}+2\sqrt{\left(a+b^3c^3\right)\left(c+a^3b^3\right)}+2\sqrt{\left(b+c^3a^3\right)\left(c+a^3b^3\right)}\)
\(P^2\ge a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}\ge a+b+c=2\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{2}\)
\(P_{min}=\sqrt{2}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;2\right)\) và các hoán vị
KN
17 tháng 10 2020
2. \(BĐT\Leftrightarrow\frac{1}{1+\frac{2}{a}}+\frac{1}{1+\frac{2}{b}}+\frac{1}{1+\frac{2}{c}}\ge1\)
Đặt\(\frac{2}{a}=x;\frac{2}{b}=y;\frac{2}{c}=z\)thì \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\xyz=8\end{cases}}\)
Ta cần chứng minh \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge1\Leftrightarrow\left(yz+y+z+1\right)+\left(zx+z+x+1\right)+\left(xy+x+y+1\right)\ge xyz+\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)+1\)\(\Leftrightarrow x+y+z\ge6\)(Đúng vì \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=6\))
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2 hay a = b = c = 1
KN
17 tháng 10 2020
3. Ta có: \(a+b+c\le\sqrt{3}\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3\)
Ta có đánh giá quen thuộc \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
Từ đó suy ra \(ab+bc+ca\le1\)
\(A=\frac{\sqrt{a^2+1}}{b+c}+\frac{\sqrt{b^2+1}}{c+a}+\frac{\sqrt{c^2+1}}{a+b}\ge\frac{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}{b+c}+\frac{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}{c+a}+\frac{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}{a+b}\)\(=\frac{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{b+c}+\frac{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}{c+a}+\frac{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}{a+b}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=3\)Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)