Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(4A=\frac{\left(x+y+z+t\right)^2\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}{xyzt}\)
\(\ge\frac{4\left(x+y+z\right)t\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}{xyzt}\)
\(=\frac{4\left(x+y+z\right)^2\left(x+y\right)}{xyz}\ge\frac{16\left(x+y\right)z\left(x+y\right)}{xyz}\)
\(=\frac{16\left(x+y\right)^2}{xy}\ge\frac{64xy}{xy}=64\)
\(\Rightarrow A\ge16\)
Đấu = xảy ra khi \(t=2z=4x=4y=1\)
x;y;z;t >0 áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có :
=\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
=\(\left(x+y\right)+z\ge2\sqrt{\left(x+y\right)z}\)
=\(\left(x+y+z\right)+t\ge2\sqrt{\left(x+y+z\right)t}\)
nhân các vế tương ứng ta có:
\(\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\left(x+y+z+t\right)\ge8\sqrt{xyzt\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)}\)
mà x+y+z+t=2
\(\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)2\ge8\sqrt{xyzt\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)}\)
=\(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)}\ge4\sqrt{xyzt}\)
=\(\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)\ge16xyzt\)
\(\Rightarrow B=\frac{\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)}{xyzt}\ge\frac{16xyzt}{xyzt}=16\)
vậy minB=16 khi\(\hept{\begin{cases}x=y\\x+y=z\\x+y+z=t\end{cases}};x+y+z+t=2\Rightarrow x=y=0.25;z=0.5;t=1\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(P\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz\left(xy+1\right)^2.\left(yz+1\right)^2.\left(zx+1\right)^2}{x^2y^2z^2\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}}=3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}}=A\)
Ta có \(A=3\sqrt[3]{\left(\frac{xy+1}{x}\right)\left(\frac{yz+1}{y}\right)\left(\frac{zx+1}{z}\right)}=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(A\ge3\sqrt[3]{8\sqrt{\frac{xyz}{xyz}}}=3.2=6\)
\(\Rightarrow P\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=\(\frac{1}{2}\)
Làm tiếp bài ღ๖ۣۜLinh's ๖ۣۜLinh'sღ] ★we are one★ chớ hình như bị ngược dấu ó.Do mình gà nên chỉ biết cô si mù mịt thôi ạ
\(3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\)
\(=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}\right)\left(z+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4y}\right)\left(x+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4z}\right)}\)
\(\ge3\sqrt[3]{5\sqrt[5]{\frac{y}{256x^4}}\cdot5\sqrt[5]{\frac{z}{256y^4}}\cdot5\sqrt[5]{\frac{x}{256z^4}}}\)
\(=3\sqrt[3]{125\sqrt[5]{\frac{xyz}{256^3\left(xyz\right)^4}}}\)
\(=15\sqrt[3]{\sqrt[5]{\frac{1}{256^3\left(xyz\right)^3}}}\)
\(\ge15\sqrt[15]{\frac{1}{256^3\cdot\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^9}}\)
\(\ge15\sqrt[15]{\frac{1}{256^3\cdot\frac{1}{2^9}}}=\frac{15}{2}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
Bài này thì AM-GM thôi
\(P=\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(zx+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\)
Sử dụng BĐT AM-GM cho 3 số không âm ta có :
\(\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)^2}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(zx+1\right)}{x^2\left(xy+1\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz\left(xy+1\right)^2\left(yz+1\right)^2\left(zx+1\right)^2}{x^2y^2z^2\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}}\)
\(=3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}}=3\sqrt[3]{\left(\frac{xy+1}{x}\right)\left(\frac{yz+1}{y}\right)\left(\frac{zx+1}{z}\right)}\)
\(=3\sqrt[3]{\left(\frac{xy}{x}+\frac{1}{x}\right)\left(\frac{yz}{y}+\frac{1}{y}\right)\left(\frac{zx}{z}+\frac{1}{z}\right)}=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\)
Tiếp tục sử dụng AM-GM cho 2 số không âm ta được :
\(3\sqrt[3]{\left(2\sqrt[2]{y\frac{1}{x}}\right)\left(2\sqrt[2]{z\frac{1}{y}}\right)\left(2\sqrt[2]{x\frac{1}{z}}\right)}\ge3\sqrt[3]{\left(2\sqrt{\frac{y}{x}}\right)\left(2\sqrt{\frac{z}{y}}\right)\left(2\sqrt{\frac{x}{z}}\right)}\)
\(=3\sqrt[3]{8\left(\sqrt{\frac{y}{x}}.\sqrt{\frac{z}{y}}.\sqrt{\frac{x}{z}}\right)}=3\sqrt[3]{8.\sqrt{\frac{xyz}{xyz}}}=3\sqrt[3]{8}=3.2=6\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
Vậy \(Min_P=6\)đạt được khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
\(A=\frac{2^2\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}{4xyzt}=\frac{\left(x+y+z+t\right)^2\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}{4xyzt}\)
\(A\ge\frac{4\left(x+y+z\right)t\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}{4xyzt}=\frac{\left(x+y+z\right)^2\left(x+y\right)}{xyz}\ge\frac{4\left(x+y\right)^2z\left(x+y\right)}{xyz}\)
\(A\ge\frac{4\left(x+y\right)^2}{xy}\ge\frac{16xy}{xy}=16\)
\(A_{min}=16\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z+t=2\\x+y+z=t\\x+y=z\\x=y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x;y;z;t\right)=...\)
Ta có:
\(x+y+z+t=2\)
\(\Rightarrow\left[\left(x+y+z\right)+t\right]^2=4\)
Vì \(x,y,z,t>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(\left(x+y+z\right)+t\ge2\sqrt{\left(x+y+z\right)t}\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(x+y+z\right)+t\right]^2\ge4\left(x+y+z\right)t\)
\(\Leftrightarrow4\ge4\left(x+y+z\right)t\)(vì \(\left[\left(x+y+z\right)+t\right]^2=4\))
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)t\le1\left(1\right)\)
Ta có:
\(P=\frac{\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}{xyzt}=\frac{1.\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}{xyzt}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{\left(x+y+z\right)t\left(x+y+z\right)\left(x+y\right)}{xyzt}\)(vì (1))
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2\left(x+y\right)}{xyz}\left(2\right)\)
Đặt \(\frac{\left(x+y+z\right)^2\left(x+y\right)}{xyz}=A\)thì \(P\ge A\)
Vì \(x,y,z>0\)nên áp dụng bất đẳng thúc Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(\left(x+y\right)+z\ge2\sqrt{\left(x+y\right)z}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge4\left(x+y\right)z\)
Do đó:
\(A=\frac{\left(x+y+z\right)^2\left(x+y\right)}{xyz}\ge\frac{4\left(x+y\right)z\left(x+y\right)}{xyz}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\frac{4\left(x+y\right)^2}{xy}\left(3\right)\)
Từ (2) và (3), ta được:
\(P\ge\frac{4\left(x+y\right)^2}{xy}\left(4\right)\)
Vì \(x,y>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow4\left(x+y\right)^2\ge16xy\)
\(\Leftrightarrow\frac{4\left(x+y\right)^2}{xy}\ge\frac{16xy}{xy}=16\left(5\right)\)
Từ (4) và (5), ta được:
\(P\ge16\)
Dấu bằng xảy ra.
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y>0\\x+y=z>0\\x+y+z=t>0\end{cases}}\)
Mà \(x+y+z+t=2\)nên:
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=\frac{1}{4}\\z=\frac{1}{2}\\t=1\end{cases}}\)
Vậy \(minP=16\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{4};z=\frac{1}{2};t=1\)