Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^4+\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^4\)
\(=\left(a+2\sqrt{ab}+b\right)^2+\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)^2\)
\(=a^2+4ab+b^2+4a\sqrt{ab}+4b\sqrt{ab}+2ab+a^2+b^2-4a\sqrt{ab}-4b\sqrt{ab}+2ab\)
\(=2\left(a^2+b^2+6ab\right).\)(1)
Mà \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^4\le\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^4+\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^4\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^4\le2\left(a^2+b^2+6ab\right).\)
Chứng minh tương tự ta cũng có:
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)^4\le2\left(a^2+c^2+6ac\right)\)
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{d}\right)^4\le2\left(a^2+d^2+6ad\right)\)
\(\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\le2\left(b^2+c^2+6bc\right)\)
\(\left(\sqrt{b}+\sqrt{d}\right)^4\le2\left(b^2+d^2+6bd\right)\)
\(\left(\sqrt{c}+\sqrt{d}\right)^4\le2\left(c^2+d^2+6cd\right)\)
Suy ra :
\(A\le6\left(a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd\right)\)
\(=6\left(a+b+c+d\right)^2\)
\(\le6.1^2=6\)
Vậy giá trị lớn nhất của \(A=6\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{a}=\sqrt{b}=\sqrt{c}=\sqrt{d}\\a+b+c+d=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}.\)
1. BĐT tương đương với \(6\left(a^2+b^2\right)-2ab+8-4\left(a\sqrt{b^2+1}+b\sqrt{a^2+1}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[a^2-4a\sqrt{b^2+1}+4\left(b^2+1\right)\right]+\left[b^2-4b\sqrt{a^2+1}+4\left(a^2+1\right)\right]\)\(+\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{b^2+1}\right)^2+\left(b-2\sqrt{a^2+1}\right)^2+\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
=> Đẳng thức không xảy ra
2. \(a^4+b^4+c^2+1\ge2a\left(ab^2-a+c+1\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^2+1\ge2a^2b^2-2a^2+2ac+2a\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c-a\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0\)
Thầy Nguyễn Việt Lâm ơi! Em nghị giờ đi theo con đường là chỉ cần cm đc
2ab(a+b) + 2bc(b+c) + 2ac(a+c) bé thua hoặc bằng 4c^3 + (a+b)^3
Rồi sử dụng cái tích chất bắc cầu k biết có đc không nữa.
Đơn giản là phân tích bình phương thôi, để loại căn cho dễ nhìn, đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x;y;z\right)\)
\(\left(x^2+y^2\right)^3+4z^6\ge4x^3y^3+4y^3z^3+4z^3x^3\)
\(\Leftrightarrow x^6+y^6+3x^4y^2+3x^2y^4+4z^6-4x^3y^3-4y^3z^3-4z^3x^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^6+y^6+4z^6+2x^3y^3-4z^3x^3-4y^3z^3\right)+3\left(x^4y^2-2x^3y^3+x^2y^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+y^3-2z^3\right)^2+3\left(x^2y-xy^2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng BĐT Bunhiacopski
ta có \(ac+bd\le\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{c^2+d^2}\)
mà \(\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2=a^2+b^2+2\left(ac+bd\right)+c^2+d^2\)
\(\le\left(a^2+b^2\right)+2\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{c^2+d^2}+c^2+d^2\)
\(=\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\right)^2\)
Lúc đó \(\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2\)\(\le\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\le\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\)