Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a. Vì \(0< 0,1< 1\) nên bất phương trình đã cho
\(\Leftrightarrow0< x^2+x-2< x+3\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+x-2>0\\x^2-5< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x< -2\\x>1\end{matrix}\right.\\-\sqrt{5}< x< \sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\sqrt{5}< x< -2\\1< x< \sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left\{-\sqrt{5};-2\right\}\) và \(\left\{1;\sqrt{5}\right\}\)
b. Điều kiện \(\left\{{}\begin{matrix}2-x>0\\x^2-6x+5>0\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(log_{\dfrac{1}{3}}\left(x^2-6x+5\right)+2log^3\left(2-x\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow log_{\dfrac{1}{3}}\left(x^2-6x+5\right)\ge log_{\dfrac{1}{3}}\left(2-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2-6x+5\le\left(2-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2x-1\ge0\)
Bất phương trình tương đương với:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-6x+5>0\\2-x>0\\2x-1\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x< 1\\x>5\end{matrix}\right.\\x< 2\\x\ge\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\le x< 1\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(\left(\dfrac{1}{2};1\right)\)
log\(_5\)(\(\dfrac{1}{25}=log_5\left(5^{-2}\right)=-2\)
log\(_{27}9\)=log\(_{3^3}3^2\)=\(\dfrac{2}{3}\)
\(\Rightarrow\) log\(_5\dfrac{1}{25}\).\(log_{27}9\)=\(\dfrac{-4}{3}\)
\(log_24=log_22^2=2\)
\(log_{\dfrac{1}{4}}2=log_{2^{-2}}2=\dfrac{-1}{2}\)
\(\Rightarrow log_24.log_{\dfrac{1}{4}}2=-1\)
Ta có : \(5^{2x}-24.5^{x-1}-1=0\Leftrightarrow5^{2x}-\frac{24}{5}.5^x-1=0\)
Đặt \(t=5^x,\left(t>0\right)\)
a)Phương trở thành : \(\Leftrightarrow t^2-\frac{24}{5}.t-1=0\left[\begin{matrix}t=5\\t=-\frac{1}{5}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
Với \(t=5\) ta có \(x=1\)
Vậy phương trình có nghiệm là : \(x=1\) và \(x=-1\)
ĐK: \(x>1\)
b)Ta có phương trình :\(\Leftrightarrow log_{\frac{1}{2}}+log_{\frac{1}{2}}\left(x-1\right)+log_26=0\Leftrightarrow log_{\frac{1}{2}}x\left(x-1\right)+log_26=0\)
\(\Leftrightarrow log_2x\left(x-1\right)=log_26\)
\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)=6\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}x=3\\x=-2\end{matrix}\right.\)
Đôi chiếu điều kiện ta thấy phương trình có nghiệm \(x=3\)
a) Tập xác định của hàm số là :
\(D=\left(-\infty;-4\right)\cup\left(4;+\infty\right)\)
b) Tập xác định của hàm số là :
\(D=\left(1;+\infty\right)\)
c) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\begin{cases}x^2-3x+2\ge0\\\sqrt{x^2-3x+2}+4-x\ge1^{ }\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(x\le1\) V \(x\ge2\)
Tập xác định là \(D=\left(-\infty;1\right)\cup\left(2;+\infty\right)\)
d) Hàm số xác định khi và chỉ khi
\(\begin{cases}\left|x-3\right|-\left|8-x\right|\ge0\\x-1>0\\\log_{0,5}\left(x-1\right)\le0\\x^2-2x-8>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}\left(x-3\right)^2\ge\left(8-x\right)^2\\x>1\\x-1\ge1\\x<-2,x>4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\)\(x\ge\frac{11}{2}\)
Vậy tập xác định là \(D=\left(\frac{11}{2};+\infty\right)\)
Điều kiện \(\begin{cases}x\ne1\\x>\frac{1}{2}\end{cases}\)
\(\log_3\left(x-1\right)^2+\log_{\sqrt{3}}\left(2x-1\right)=2\Leftrightarrow2\log_3\left|x-1\right|+2\log_3\left(2x-1\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\log_3\left|x-1\right|\left(2x-1\right)=\log_33\)
\(\Leftrightarrow\left|x-1\right|\left(2x-1\right)=3\)
\(\frac{1}{2}\)<x<1 và \(2x^2-3x+4=0\)
hoặc x>1 và \(2x^2-3x-2=0\)
\(\Leftrightarrow x=2\) thỏa mãn điều kiện. Vậy x=2
Điều kiện x>1
Từ (1) ta có \(\log_{\sqrt{3}}\frac{x+1}{x-1}>\log_34\) \(\Leftrightarrow\frac{x+1}{x-1}>2\) \(\Leftrightarrow\) 1<x<3
Đặt \(t=\log_2\left(x^2-2x+5\right)\)
Tìm điều kiện của t :
- Xét hàm số \(f\left(x\right)=\log_2\left(x^2-2x+5\right)\) với mọi x thuộc (1;3)
- Đạo hàm : \(f\left(x\right)=\frac{2x-2}{\ln2\left(x^2-2x+5\right)}>\) mọi \(x\in\left(1,3\right)\)
Hàm số đồng biến nên ta có \(f\left(1\right)\) <\(f\left(x\right)\) <\(f\left(3\right)\) \(\Leftrightarrow\)2<2<3
- Ta có \(x^2-2x+5=2'\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-1\right)^2=2'-4\)
Suy ra ứng với mõi giá trị \(t\in\left(2,3\right)\) ta luôn có 1 giá trị \(x\in\left(1,3\right)\)
Lúc đó (2) suy ra : \(t-\frac{m}{t}=5\Leftrightarrow t^2-5t=m\)
Xét hàm số : \(f\left(t\right)=t^2-5t\) với mọi \(t\in\left(2,3\right)\)
- Đạo hàm : \(f'\left(t\right)=2t-5=0\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}\)
- Bảng biến thiên :
| x | 2 \(\frac{5}{2}\) 3 |
| y' | + 0 - |
| y | -6 -6 -\(\frac{25}{4}\) |
Để hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow-6>-m>-\frac{25}{4}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{25}{4}\) <m<6
Câu a đúng là cú lừa, biến đổi logarit thì dễ, đến lúc nó ra pt vô tỉ theo x mới thấy vấn đề :D
a/ĐK: \(0< x< 1\)
\(2log_2x-log_2\left(1-\sqrt{x}\right)=log_2\left(x-2\sqrt{x}+2\right)\)
\(\Leftrightarrow log_2x^2-log_2\left(1-\sqrt{x}\right)=log_2\left(x-2\sqrt{x}+2\right)\)
\(\Leftrightarrow log_2\left(\dfrac{x^2}{1-\sqrt{x}}\right)=log_2\left(x-2\sqrt{x}+2\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{1-\sqrt{x}}=x-2\sqrt{x}+2=x+2\left(1-\sqrt{x}\right)\)
Đặt \(1-\sqrt{x}=t\) (\(0< t< 1\)) \(\Rightarrow\dfrac{x^2}{t}=x+2t\)
\(\Leftrightarrow x^2-t.x-2t^2=0\) \(\Rightarrow\Delta=t^2+8t^2=9t^2\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{t+3t}{2}=2t\\x=\dfrac{t-3t}{2}=-t< 0\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=2\left(1-\sqrt{x}\right)\Rightarrow x+2\sqrt{x}-2=0\) \(\Rightarrow x=4-2\sqrt{3}\)
b/ĐK \(x>0\)
\(log_3\left(x-1\right)^2-log_3x+\left(x-1\right)^2=x\)
\(\Leftrightarrow log_3\left(x-1\right)^2+\left(x-1\right)^2=log_3x+x\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=log_3t+t\) \(\left(t>0\right)\Rightarrow f'\left(t\right)=\dfrac{1}{t.ln3}+1>0\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến
\(\Rightarrow f\left(t_1\right)=f\left(t_2\right)\Leftrightarrow t_1=t_2\)
\(\Rightarrow log_3\left(x-1\right)^2+\left(x-1\right)^2=log_3x+x\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=x\)
\(\Leftrightarrow x^2-3x+1=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\\x=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)
a)ĐK: 2x+1>0
\(\log_3\left(2x+1\right)=2\log_{2x+1}3+1\)
\(\Leftrightarrow log_3\left(2x+1\right)=2.\frac{1}{log_3\left(2x+1\right)}+1\)
Nhân \(log_3\left(2x+1\right)\)cả 2 vế
Đặt \(t=log_3\left(2x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow t^2-t-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t=2\\t=-1\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}2x+1=9\\2x+1=\frac{1}{3}\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=4\\x=-\frac{1}{3}\end{array}\right.\)nhận cả 2 nghiệm
b)ĐK x>0
\(\Leftrightarrow1+log^2_{27}x=\frac{10}{3}log_{27}x\)
Đặt \(t=log_{27}x\)
\(\Leftrightarrow t^2-\frac{10}{3}t+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t=3\\t=\frac{1}{3}\end{array}\right.\)\(\left[\begin{array}{nghiempt}x=27^3\\x=3\end{array}\right.\)