Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: =(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1
=(x^2+3x)^2+2(x^2+3x)+1
=(x^2+3x+1)^2>=0 với mọi x
b: (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2
=a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2-a^2x^2-b^2y^2-c^2z^2-2axby-2axcz-2bycz
=(a^2y^2-2axby+b^2x^2)+(a^2z^2-2azcx+c^2x^2)+(b^2z^2-2bzcy+c^2y^2)
=(ay-bx)^2+(az-cx)^2+(bz-cy)^2>=0(luôn đúng)
a) \(5x^2-4x=9\)
\(5x^2-4x-9=0\)
\(5x^2+5x-9x-9=0\)
\(5x\left(x+1\right)-9\left(x+1\right)=0\)
\(\left(x+1\right)\left(5x-9\right)=0\)
\(\hept{\begin{cases}x+1=0\\5x-9=0\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}x=-1\\x=\frac{9}{5}\end{cases}}\)
Theo bài ra ta có:
\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\ge a^2x^2+2axby+b^2y^2\)
\(\Leftrightarrow a^2y^2-2axby+b^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\left(true\right)\)
Bài 1 : A=\(-\left(x^2-2.\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)\)
A=\(-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}< \)hoặc bằng -1/4 Vậy A max =1/4 khi x=1/2
Ta có:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2bycz+2axcz\)
\(\Leftrightarrow a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2-2axby-2bycz-2axcz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2y^2-2axby+b^2x^2\right)+\left(a^2z^2-2axcz+c^2x^2\right)+\left(b^2z^2-2bycz+c^2y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2+\left(az-cx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2=0\)
Vì \(\left(ay-bx\right)^2\ge0;\left(az-cx\right)^2\ge0;\left(bz-cy\right)^2\ge0\) nên
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(ay-bx\right)^2=0\\\left(az-cx\right)^2=0\\\left(bz-cy\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}ay-bx=0\\az-cx=0\\bz-cy=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}ay=bx\\az=cx\\bz=cy\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\\\frac{a}{x}=\frac{c}{z}\\\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\end{cases}}\)( Theo tính chất của tỉ lệ thức : tích trung tỉ bằng tích ngoại tỉ)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)( Với x, y, z khác 0)
Vậy \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)Với x, y, z khác 0
Ta có:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2bycz+2axcz\)
\(\Leftrightarrow a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2-2axby-2bycz-2axcz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2y^2-2axby+b^2x^2\right)+\left(a^2z^2-2axcz+c^2x^2\right)+\left(b^2z^2-2bycz+c^2y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2+\left(az-cx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2=0\)
Vì \(\left(ay-bx\right)^2\ge0;\left(az-cx\right)^2\ge0;\left(bz-cy\right)^2\ge0\) nên
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(ay-bx\right)^2=0\\\left(az-cx\right)^2=0\\\left(bz-cy\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}ay-bx=0\\az-cx=0\\bz-cy=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}ay=bx\\az=cx\\bz=cy\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\\\frac{a}{x}=\frac{c}{z}\\\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\end{cases}}\)( Theo tính chất của tỉ lệ thức : tích trung tỉ bằng tích ngoại tỉ)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)( Với x, y, z khác 0)
Vậy \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)Với x, y, z khác 0
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2\)
\(=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2bycz+2axcz\)
Trừ cả hai vế cho \(a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2\), có :
\(a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2=2axby+2bycz+2axcz\)
\(\Rightarrow a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2-2axby-2bycz-2axcz=0\)
\(\left(a^2y^2+b^2x^2-2axby\right)+\left(a^2z^2+c^2x^2-2axcz\right)+\left(b^2z^2+c^2y^2-2bycz\right)=0\)
\(\left(ay-bx\right)^2+\left(az-cx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2=0\)
Mà \(\hept{\begin{cases}\left(ay-bx\right)^2\ge0\\\left(az-cx\right)^2\ge0\\\left(bz-cy\right)^2\ge0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ay-bx=0\\az-cx=0\\bz-cy=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ay=bx\\az=cx\\bz-cy\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
Vậy ...
a) \(2-x\ge0\Leftrightarrow x\le2\)(chuyển x sang bên phải rồi đảo vế)
b) \(2+x\ge0\Leftrightarrow x\ge-2\)(cộng cả hai vế với -2)
c) \(7-x\ge0\Leftrightarrow x\le7\)(giống phần a)
Bạn tự kết luận nha!!
(a\(^2\)+b\(^2\))(x\(^2\)+y\(^2\))≥(ax+by)\(^2\)
<=> a\(^2\)x\(^2\)+a\(^2\)y\(^2\)+b\(^2\)x\(^2\)+\(b^2\)y\(^2\)≥(ax)\(^2\)+(by)\(^2\)+2axby
<=>a\(^2\)x\(^2\)-a\(^2\)x\(^2\)+a\(^2\)y\(^2\)+b\(^2\)x\(^2\)+b\(^2\)y\(^2\)-b\(^2\)y\(^2\)-2axby≥0
<=>(ay)\(^2\)-2axby+(bx)\(^2\)≥0
<=>(ay-bx)\(^2\)≥0 ( luôn đúng )
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{a}{x}\)=\(\dfrac{b}{y}\)
Mình cảm ơn bạn nhiều ạ!