Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{c-a}{d-b}\)
Ta có: d > c > b > a >0 => d - b > c - a > 0
=> a + d > b + c.
\(M=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
+)Ta thấy:\(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{a+c}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
Vậy M>1 (1) (Đề sai )
b)\(M=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
+)Ta thấy:\(\frac{a}{b+c}< \frac{a+a}{a+b+c}=\frac{2a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{a+c}< \frac{b+b}{a+b+c}=\frac{2b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}< \frac{c+c}{a+b+c}=\frac{2c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
=>M<2 (2)
+)Từ (1) và (2)
=>M không phải là ssoos nguyên
Chúc bạn học tốt
+) Do a + b + c> a + b \(\Rightarrow\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)
Tương tự \(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c},\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)(1)
Lại có a < a + b \(\Rightarrow\frac{a}{a+b}< 1\Rightarrow\frac{a+c}{a+b+c}>\frac{a}{a+b}\)
Tương tự \(\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c},\frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{b+a}{a+b+c}+\frac{c+b}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)(2)
Từ (1) và (2) => 1<M<2 => M không phải là số nguyên
Vì a,b,c dương, ta có:
\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1\) (*)
Lại có: \(M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=\frac{a+b-b}{a+b}+\frac{b+c-c}{b+c}+\frac{c+a-a}{c+a}=3-\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}\right)\)
Chứng minh tương tự (*) ta có: \(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}>1\)
\(\Rightarrow M< 3-1=2\) (**)
Từ (*) và (**) => 1 < M < 2 => đpcm
Có $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=(a+b)^2+(c+d)^2+e^2-2ab-2cd$
$=(a+b+c+d)^2+e^2 -2.(a+b)(c+d)-2ab-2cd$
$=(a+b+c+d+e)^2-2.(a+b+c+d).e-2.(a+b)(c+d)-2ab-2cd$
Mà $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\vdots 2;-2.(a+b+c+d).e-2.(a+b)(c+d)-2ab-2cd \vdots 2$ nên $(a+b+c+d+e)^2 \vdots 2$
Suy ra $a+b+c+d+e \vdots 2$
$a;b;c;d;e$ nguyên dương nên $a+b+c+d>2$
suy ra $a+b+c+d+e$ là hợp số
ta cần chứng minh nó lớn hơn 1 và nhỏ hơn 2
Do a;b;c và d là các số nguyên dương =>
a + b + c < a + b + c + d
a + b + d < a + b + c + d
a + c + d < a + b + c + d
b + c + d < a + b + c + d
=> a/(a + b + c) > a/(a + b + c + d) (1)
b/(a + b + d) > b/(a + b + c + d) (2)
c/(b + c + d) > c/(a + b + c + d) (3)
d/(a + c + d) > d/(a + b + c + d) (4)
Từ (1);(2);(3) và (4)
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > a/(a + b + c + d) + b/(a + b + c + d) + c/(a + b + c + d) + d/(a + b + c + d)
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > (a + b + c + d)/(a + b + c + d)
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > 1
=> B > 1 (*)
Ta có: (a + b + c)(a + d) - a(a + b + c + d)
= a² + ad + ab + bd + ac + cd - (a² + ab + ac + ad)
= a² + ad + ab + bd + ac + cd - a² - ab - ac - ad
= bd + cd
Do a;b;c và d là số nguyên dương
=> bd + cd > 0
=> (a + b + c)(a + d) - a(a + b + c + d) > 0
=> (a + b + c)(a + d) > a(a + b + c + d)
=> (a + d)/(a + b + c + d) > a/(a + b + c) (5)
Chứng minh tương tự ta được:
(b + c)/(a + b + c + d) > b/(a + b + d) (6)
(a + c)/(a + b + c + d) > c/(b + c + d) (7)
(b + d)/(a + b + c + d) > d/(a + c + d) (8)
Cộng vế với vế của (5);(6);(7) và (8) ta được:
(a + d)/(a + b + c + d) + (b + c)/(a + b + c + d) + (a + c)/(a + b + c + d) + (b + d)/(a + b + c + d) > a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d)
=> (a + d + b + c + a + c + b + d)/(a + b + c + d) > B
=> 2(a + b + c + d)/(a + b + c + d) > B
=> 2 > B (*)(*)
Từ (*) và (*)(*)
=> 1 < B < 2
=> B không phải là số nguyên
Ta có: a/a+b <a/a+b+c (1)
b/b+c <b/a+b+c (2)
c/c+a <c/a+b+c (3)
Từ (1),(2),(3) => a/a+b + b/b+c + c/c+a > a/a+b+c + b/a+b+c + c/a+b+c
= a+b+c/a+b+c
=1
VẬY : M>1
Ta có :
a/a+b < a+c/a+b+c (1)
b/b+c < b+a/a+b+c (2)
c/c+a < c+b/a+b+c (3)
Từ (1),(2),(3) => a/a+b + b/b+c + c/c+a < a+c/a+b+c + b+a/a+b+c + c+a/a+b+c
= 2.(a+b+c)/a+b+c
= 2
=> 1<M<2
=> M không phải là số nguyên
Vì a+b<a+b+c=>a/a+b>a/a+b+c
Vì b+c<a+b+c=>b/b+c>b/a+b+c
Vì c+a<a+b+c=>c/c+a>c/a+b+c
=>a/a+b+b/b+c+c/c+a>a/a+b+c+b/a+b+c+c/a+b+c=(a+b+c)/(a+b+c)=1
=>a/a+b+b/b+c+c/c+a>1
=>ĐPCM