NV
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 4 2021
\(VT=\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}+\dfrac{2}{\left(a+1\right)^2}+\dfrac{2}{\left(b+1\right)^2}+\dfrac{2}{\left(c+1\right)^2}\)
Mặt khác:
\(\dfrac{1}{\left(\sqrt{ab}.\sqrt{\dfrac{a}{b}}+1.1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\sqrt{ab}.\sqrt{\dfrac{b}{a}}+1.1\right)^2}\ge\dfrac{1}{\left(1+ab\right)\left(1+\dfrac{a}{b}\right)}+\dfrac{1}{\left(1+ab\right)\left(1+\dfrac{b}{a}\right)}=\dfrac{1}{1+ab}\)
Do đó:
\(VT\ge\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}+\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ca}\)
\(VT\ge\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{c}}+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a}}+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{b}}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
26 tháng 8 2021
cho em hỏi một tí ạ
Chộ \(\dfrac{1}{\left(\sqrt{ab}.\sqrt{\dfrac{a}{b}}+1.1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(\sqrt{ab}.\sqrt{\dfrac{b}{a}}+1.1\right)^2}\ge\dfrac{1}{\left(ab+1\right)\left(1+\dfrac{a}{b}\right)}+\dfrac{1}{\left(1+ab\right)\left(1+\dfrac{b}{a}\right)}\)
áp dụng công thức gì đây ạ
DP
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 2 2021
\(VT=\dfrac{a^4}{ab+ac}+\dfrac{b^4}{ab+bc}+\dfrac{c^4}{ac+bc}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
19 tháng 1 2023
\(ab+bc+ca\le1\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+1}\ge\sqrt{a^2+ab+bc+ca}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}\le\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}}{2}\)
\(tương\) \(tự\Rightarrow\Sigma\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}\le\dfrac{\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}}{2}+\dfrac{\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}}{2}+\dfrac{\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}}{2}=\dfrac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
\(dấu"="\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{\dfrac{1}{3}}\)
11 tháng 4 2023
3: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b>=2\sqrt{ab}\\b+c>=2\sqrt{bc}\\a+c>=2\sqrt{ac}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)>=8abc\)
1: =>(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)>=0
=>(a+b)(a^2-2ab+b^2)>=0
=>(a+b)(a-b)^2>=0(luôn đúng)
HV
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 9 2021
Do vai trò của 3 biến là như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\ge c\)
\(\Rightarrow\) Theo BĐT Chebyshev:
\(3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\) (1)
Bunhiacopxki:
\(\left(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\right)^2\le2\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\le6\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\left(a^3+b^3+c^3\right)^2\ge6\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\ge6\)
Hiển nhiên đúng do: \(a^3+b^3+c^3\ge3abc=6\)
NP
1
12 tháng 10 2017
Câu hỏi của Lê Văn Hoàng - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
7 tháng 7 2021
đề kiểu gì vậy bạn tui nghĩ là thế này
áp dụng BDT tam giác
\(=>\left\{{}\begin{matrix}a+b>c\\a+c>b\end{matrix}\right.\)\(=>\)\(\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)>0< =>\left[a+\left(b-c\right)\right]\left[a-\left(b-c\right)\right]>0\)
\(=>a^2-\left(b-c\right)^2>0=>a^2>\left(b-c\right)^2=>\left(b-c\right)^2< a^2\)
\(=>a\left(b-c\right)^2< a^3\left(1\right)\)
cminh tương tự \(=>b\left(c-a\right)^2< b^3\left(2\right)\)
\(=>c\left(a-b\right)^2< c^3\left(3\right)\)
(1)(2)(3)\(=>VT< a^3+b^3+c^3\)
7 tháng 7 2021
Sai đề rồi e ơi, mà tối qua thức coi euro hả,thấy 3h đêm còn làm bài :v
Làm bài này chắc sai,nếu sai xin đừng ném đá mình nha.Thêm đk: a,b,c>0
Ta có: \(\frac{a^3}{b\left(a+c\right)}+\frac{1}{8}b\left(a+c\right)+1\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{b\left(a+c\right)}.\frac{1}{8}b\left(a+c\right)}=\frac{3}{2}a\)
Suy ra: \(\frac{a^3}{b\left(a+c\right)}\ge\frac{3}{2}a-\frac{1}{8}b\left(a+c\right)-1\)
Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế:
\(VT\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{8}\left[a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)\right]-3\)
\(\ge\frac{3}{2}.3\sqrt[3]{abc}-\frac{1}{8}.2\left(ab+bc+ca\right)-3\)
\(=\left(\frac{9}{2}-3\right)-\frac{1}{4}\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=\frac{3}{2}-\frac{1}{4}\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\ge\frac{3}{2}-\frac{1}{4}.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3}{2}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{12}\ge\frac{3}{2}\) (do \(-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{12}\le0\forall a,b,c\)) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
tớ thấy sai sai 1 tí mn đừng ném đá cậu ấy mặc dù sai tí :)