Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta có \(\sqrt[3]{3a+1}=\frac{\sqrt[3]{\left(3a+1\right)2.2}}{\sqrt[3]{4}}\le\frac{3a+1+2+2}{3\sqrt[3]{4}}=\frac{3a+5}{3\sqrt[3]{4}}\)
tương tự \(\hept{\begin{cases}\sqrt[3]{3b+1}\le\frac{3b+5}{3\sqrt[3]{4}}\\\sqrt[3]{3c+1}\le\frac{3c+5}{3\sqrt[3]{4}}\end{cases}}\)
\(=>P\le\frac{3\left(a+b+c\right)+15}{3\sqrt[3]{4}}=\frac{6}{\sqrt[3]{4}}=3\sqrt[3]{2}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt[3]{a+3b}=\sqrt[3]{1.1.(a+3b)}\leq \frac{1+1+a+3b}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}\geq \frac{3}{a+3b+2}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
$\Rightarrow P\geq 3\left(\frac{1}{a+3b+2}+\frac{1}{b+3c+2}+\frac{1}{c+3a+2}\right)$
Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz:
\(\frac{1}{a+3b+2}+\frac{1}{b+3c+2}+\frac{1}{c+3a+2}\geq \frac{9}{4(a+b+c)+6}=\frac{9}{4.\frac{3}{4}+6}=1\)
Do đó: $P\geq 3.1=3$
Vậy $P_{\min}=3$ khi $a=b=c=\frac{1}{4}$
chúa muốn hỏi , đề sai hay đúng ở chỗ " 3c^3+2ca+3c^2 ý :))
cái này dễ thôi, Áp dụng bđt cô si ta có
\(\sqrt[3]{a+3b}\le\frac{a+3b+1+1}{3}\)
tương tự và + vào ta có \(A\le\frac{4\left(a+b+c\right)+6}{3}=3\) (đpcm)
dấu = xảy ra <=> a=b=c=1/4
có thể là bé hơn hoặc bằng,các bạn thử cho mình với nhé
áp dụng Bất Đẳng Thức CBS \(\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}=\sqrt{\left(a+4b\right)\left(3a+2b\right)}\le\frac{1}{2}\left(4a+6b\right)\)
(BĐT CBS) do đó ta \(\Rightarrow\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}\ge\frac{a^2}{2a+3b}\)
tương tư với mẫu còn lại
\(\Rightarrow\Sigma\frac{a^2}{\sqrt{3a^2+8b^2+14ab}}\ge\Sigma\frac{a^2}{2a+3b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{5}\left(Q.E.D\right)\)
đẳng thức xảy ra khi a=b=c
Ta có : \(\frac{bc}{\sqrt{3a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a^2+ab+ac+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
Áp dụng bđt Cauchy , ta có : \(\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{bc}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)
Tương tự : \(\frac{ac}{\sqrt{3b+ac}}=\frac{ac}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{ac}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)\); \(\frac{ab}{\sqrt{3c+ab}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{ab}{2}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)
\(\Rightarrow P=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{ac}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}+\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(c+b\right)}}\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{bc+ac}{a+b}\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{3}{2}\)
Suy ra : Max P \(=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)
đây nhé Câu hỏi của Steffy Han - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số dương, ta có:
\(\left(b+3c\right)+4\ge2\sqrt{4\left(b+3c\right)}=4\sqrt{b+3c}\\ \)
\(\Rightarrow\sqrt{b+3c}\le\frac{b+3c+4}{4}\)
\(\Rightarrow a\sqrt{b+3c}\le\frac{ab+3ac+4a}{4}\)
Tương tự ta có \(b\sqrt{c+3a}\le\frac{bc+3ab+4b}{4}\)
\(c\sqrt{a+3b}\le\frac{ac+3bc+4c}{4}\)
\(\Rightarrow a\sqrt{b+3c}+b\sqrt{c+3a}+c\sqrt{a+3b}\le\)\(\frac{4\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)}{4}\)\(=\frac{4\left(ab+bc+ac\right)+12}{4}\)
Ta có bổ đề:3(ab+bc=ca) \(\le\)(a+b+c)^2 => 3(ab+bc+ca) \(\le9\)=> \(\text{(ab+bc+ca)}\le3\)
=>\(a\sqrt{b+3c}+b\sqrt{c+3a}+c\sqrt{a+3b}\le\)\(\frac{4.3+12}{4}=6\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra <=>a=b=c=1