K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HL
28 tháng 1 2018
Với a,b,c,d >0\(a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0\Leftrightarrow\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)+\left(c^4-2c^2d^2+d^4\right)+\left(2a^2b^2+2c^2d^2-4abcd\right)=0\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2-2\left(a^2b^2-2abcd+c^2d^2\right)=0\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2-2\left(ab-cd\right)^2=0\)
Ta thấy: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\forall a,b\\\left(c^2-d^2\right)^2\ge0\forall c,d\\\left(ab-cd\right)^2\ge0\forall a,b,c,d\end{matrix}\right.\)
Do đó: \(\left\{{}\begin{matrix}a^2-b^2=0\\c^2-d^2=0\\ab-cd=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=b^2\\c^2=d^2\\ab=cd\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=d\left(\text{đ}pcm\right)\)
TY
2
30 tháng 6 2015
giả sử a=b=c=d => \(a^4+a^4+a^4+a^4=4.a.a.a.a\Leftrightarrow4a^4=4a^4\)=> thỏa mãn điều kiện đầu bài
=> điểu giả sử đúng
AM
30 tháng 6 2015
Áp đụng BĐT co si ta có:
a4+b4>2a2b2
b4+c4>2b2c2
c4+d4>2c2d2
d4+a4>2a2d2
=>2(a4+b4+c4+d4)>2(a2b2+b2c2+c2d2+a2d2)
=>a4+b4+c4+d4>a2b2+b2c2+c2d2+a2d2(1)
Dấu"=" xảy ra <=>a=b=c=d
Tiếp tục ta có:
a2b2+c2d2>2abcd
b2c2+a2d2>2bcd
=>a2b2+b2c2+c2d2+a2d2>4abcd(2)
Từ 1 và 2 =>a4+b4+c4+d4>4abcd
Dấu "=" xảy ra <=>a=b=c=d
=>a4+b4+c4+d4=4abcd<=>a=b=c=d
24 tháng 4 2017
ta có: \(4abcd=2abcd+2abcd\)
ta có:\(\left(ab-cd\right)^2+\left(ac-bd\right)^2\ge0\\ \Leftrightarrow\left(ab\right)^2-2abcd+\left(cd\right)^2+\left(ac\right)^2-2abcd+\left(bd\right)^2\ge0\\ \Leftrightarrow\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2+\left(ac\right)^2+\left(bd\right)^2\ge4abcd\left(1\right)\)
ta có:
\(\left(a^2-b^2\right)^2+\left(a^2-c^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+\left(b^2-d^2\right)^2\ge0\\ \Leftrightarrow a^4-2\left(ab\right)^2+b^4+a^4-2\left(ac\right)^2+c^4+c^2-2\left(cd\right)^2+d^2+b^4-2\left(bd\right)^2+d^4\ge0\\ \Leftrightarrow2\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\ge2\left(ab+ac+cd+bd\right)\\ \Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge ab+ac+cd+bd\left(2\right)\)
từ (1) và (2) \(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)
24 tháng 4 2017
Trần Thị Ngọc Trâm cái (2) với cái (1) chẳng thấy liên quan gì với nhau cả
H
0
VH
1
PD
0
LN
0
NQ
0
NT
0
Áp dụng BĐT bunhiacopxki