Question

[Buddy]

a) Sử dụng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + t} \right)}}{t} = 1\) và đẳng thức \(\ln \left( {x + h} \right) - \ln x = \ln \left( {\frac{{x + h}}{x}} \right) = \ln \left( {1 + \frac{h}{x}} \right),\) tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln x\) tại điểm x > 0 bằng định nghĩa.

b) Sử dụng đẳng thức \({\log _a}x = \frac{{\ln x}}{{\ln a}}\,\,\left( {0 < a \ne 1} \right),\) hãy tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _a}x.\)

Answer 1

[Hà Quang Minh]

a) Với x > 0 bất kì và \(h = x - {x_0}\) ta có

\(\begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\ln \left( {{x_0} + h} \right) - \ln {x_0}}}{h}\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + \frac{h}{{{x_0}}}} \right)}}{{\frac{h}{{{x_0}}}.{x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{{{x_0}}}.\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + \frac{h}{{{x_0}}}} \right)}}{{\frac{h}{{{x_0}}}}} = \frac{1}{{{x_0}}}\end{array}\)

Vậy hàm số \(y = \ln x\) có đạo hàm là hàm số \(y' = \frac{1}{x}\)

b) Ta có \({\log _a}x = \frac{{\ln x}}{{\ln a}}\) nên \(\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \left( {\frac{{\ln x}}{{\ln a}}} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}\)