Question

[MtP]

a ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P (x ) = 3x^2-27x+54

Với giá trị nào thì P (x) nhận giá trị không âm ?

b ) Tìm m và p sao cho biểu thức : A = m^2-4mp+5p^2+10m-22p+28 đạt GTNN . Tính giá trị ấy ?

Answer 1

[Võ Đông Anh Tuấn]

a ) \(P\left(x\right)=3x^2-27x+54=3\left(x^2-9x+15\right)\)

\(=3\left[\left(x^2-3x\right)-\left(6x-18\right)\right]=3\left[x\left(x-3\right)-6\left(x-3\right)\right].\)

\(\Rightarrow P\left(x\right)=3\left(x-3\right)\left(x-6\right)\)

Ta có : \(P\left(x\right)\ge0\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x-6\right)\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x-3\ge0\\x-6\ge0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-3\le0\\x-6\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge6\\x\le3\end{matrix}\right.\)

Vậy \(P\left(x\right)\ge0\Leftrightarrow x\le3\) hoặc \(x\ge6\)

b ) \(A=m^2-4mp+5p^2+10m-22p+28\)

\(=m^2-4mp+4p^2+10m-20p+p^2-2p+1+27\)

\(=\left(m-2p\right)^2+10\left(m-2p\right)+\left(p-1\right)^2+25+2\)

\(=\left(m-2p+5\right)^2+\left(p-1\right)^2+2\ge2\)

Vậy GTNN của A là 2 khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}p-1=0\\m-2p+5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}p=1\\m=-3\end{matrix}\right..\)

Vậy ...............

\(=3\left[\left(x^2-3x\right)-\left(6x-18\right)\right]=3\left[x\left(x-3\right)-6\left(x-3\right)\right]\)