Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
S1= 1.2.3
S2= 2.3.4
S3=3.4.5
...........
Sn = n(n+1)(n+2)
S= S1+S2+S3+...+Sn
Chứng minh 4S + 1 là 1 số chính phương
\(S=1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+3\cdot4\cdot5+...+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)
\(\Rightarrow4S=1\cdot2\cdot3\cdot4+2\cdot3\cdot4\cdot4+3\cdot4\cdot5\cdot4+...+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\cdot4\)
\(=1\cdot2\cdot3\left(4-0\right)+2\cdot3\cdot4\left(5-1\right)+3\cdot4\cdot5\left(6-2\right)+.....+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left[\left(k+3\right)-\left(k-1\right)\right]\)\(=1\cdot2\cdot3\cdot4-0\cdot1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4\cdot5-1\cdot2\cdot3\cdot4+....+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)-\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)\(=k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)\)
Ta cần chứng minh:\(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)+1\) là số chính phương.
Thật vậy:\(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)+1=\left[k\left(k+3\right)\right]\left[\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right]+1\)
\(=\left(k^2+3k\right)\left(k^2+3k+2\right)+1\left(1\right)\)
Đặt \(k^2+3k=t\) thì (1) sẽ trở thành:
\(t\left(t+2\right)+1=t^2+2t+1=\left(t+1\right)^2=\left(k^2+3k+1\right)^2\)
Vì \(k\in N\)nên \(\left(k^2+3k+1\right)^2\) là số chính phương hay \(4S+1\) là số chính phương.
\(10^n=11...1\times9+1\)(\(n\)chữ số \(1\))
a) \(b=9a+1+5=9a+6\)
\(ab+1=a\left(9a+6\right)+1=9a^2+6a+1=\left(3a+1\right)^2\)là số chính phương.
b) Số đó có dạng: \(A=11...155...5+1\)(\(n\)chữ số \(1\), \(n\)chữ số \(5\))
\(a=11...1\)(\(n\)chữ số \(1\))
\(a=a\left(9a+1\right)+5a+1=9a^2+a+5a+1=9a^2+6a+1=\left(3a+1\right)^2\)là số chính phương.
a) \(n=a^2+b^2\)
\(2n=2a^2+2b^2=a^2+b^2-2ab+a^2+b^2+2ab=\left(a-b\right)^2+\left(a+b\right)^2\)
b) \(2n\)là số chẵn nên hai số chính phương có tổng là \(2n\)cùng tính chẵn lẻ.
\(2n=\left(a-b\right)^2+\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow n^2=a^2+b^2\)
c) \(n^2=\left(a^2+b^2\right)^2=a^4+2a^2b^2+b^4=a^4-2a^2b^2+b^4+4a^2b^2\)
\(=\left(a^2-b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2\)
Bài 309. Chứng minh rằng ab + 1 là số chính phương với a = 11…12(n chữ số 1),
b = 11…14(n chữ số 1).
Đặt \(a=x+1,b=x+3\)với \(x=11...1\)(\(n\)chữ số \(1\))
\(ab+1=\left(x+1\right)\left(x+3\right)+1=x^2+4x+3+1\)
\(=x^2+4x+4=\left(x+2\right)^2\)
Do đó ta có đpcm.
Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2)
Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương .
Ta có k(k+1)(k+2) = 41 k(k+1)(k+2).4
= 41 k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)]
= 41 k(k+1)(k+2)(k+3) - 41 k(k+1)(k+2)(k-1)
⇒S =41.1.2.3.4 -41.0.1.2.3 + 41.2.3.4.5 -41.1.2.3.4 +…+41 k(k+1)(k+2)(k+3) -41 k(k+1)(k+2)(k-1)
= 41 k(k+1)(k+2)(k+3)4S + 1
= k(k+1)(k+2)(k+3) + 1Theo kết quả bài 2
⇒ k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính phương.
EF//AB//CD
+ Xét tg ABD có
E là trung điểm AD (đề bài)
EI//AB
=> EI là đường trung bình của tg ABD => EI=AB/2 (1)
+ Xét tg ABC chứng minh tương tự cũng có KF=AB/2 (2)
Từ (1) và (2) => EI=KF
+ Xét tg BCD chứng minh tương tự có IF=(IK+KF)=CD/2
⇒IF−EI=IK+KF−EI=IK=CD2−AB2=CD−AB2.⇒IF−EI=IK+KF−EI=IK=CD2−AB2=CD−AB2.
b/ Câu b dựa vào KQ của câu a
E, F là trung điểm của AD và BC (đề bài) => EF là đường trung bình của ht ABCD => EF//AB//CD
+ Xét tg ABD có
E là trung điểm AD (đề bài)
EI//AB
=> EI là đường trung bình của tg ABD => EI=AB/2 (1)
+ Xét tg ABC chứng minh tương tự cũng có KF=AB/2 (2)
Từ (1) và (2) => EI=KF
+ Xét tg BCD chứng minh tương tự có IF=(IK+KF)=CD/2
⇒IF−EI=IK+KF−EI=IK=CD2−AB2=CD−AB2.⇒IF−EI=IK+KF−EI=IK=CD2−AB2=CD−AB2.
b/ Câu b dựa vào KQ của câu a
E, F là trung điểm của AD và BC (đề bài) => EF là đường trung bình của ht ABCD => EF//AB//CD
+ Xét tg ABD có
E là trung điểm AD (đề bài)
EI//AB
=> EI là đường trung bình của tg ABD => EI=AB/2 (1)
+ Xét tg ABC chứng minh tương tự cũng có KF=AB/2 (2)
Từ (1) và (2) => EI=KF
+ Xét tg BCD chứng minh tương tự có IF=(IK+KF)=CD/2
⇒IF−EI=IK+KF−EI=IK=CD2−AB2=CD−AB2.⇒IF−EI=IK+KF−EI=IK=CD2−AB2=CD−AB2.
b/ Câu b dựa vào KQ của câu a
+ ΔABD có DE = EA và DK = KB
⇒ EK là đường trung bình của ΔDAB
⇒ EK // AB
+ Hình thang ABCD có: AE = ED và BF = FC
⇒ EF là đường trung bình của hình thang ABCD
⇒ EF // AB// CD
+ Qua điểm E ta có EK // AB và EF // AB nên theo tiên đề Ơclit ta có E, K, F thẳng hàng.
Ta có:
\(a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}\)\(\Leftrightarrow\) \(a-b=\frac{1}{c}-\frac{1}{b}\)\(\Leftrightarrow\) \(\left(a-b\right)=\frac{b-c}{bc}\) (1)
\(a+\frac{1}{b}=c+\frac{1}{a}\)\(\Leftrightarrow\)\(a-c=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\)\(\Leftrightarrow\) \(\left(a-c\right)=\frac{b-a}{ab}\) (2)
\(c+\frac{1}{a}=b+\frac{1}{c}\)\(\Leftrightarrow\) \(c-b=\frac{1}{c}-\frac{1}{a}\)\(\Leftrightarrow\) \(\left(c-b\right)=\frac{a-c}{ac}\) (3)
Nhân từng vế của (1)(2)(3) ta được \(\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)=\frac{\left(b-c\right)\left(b-a\right)\left(a-c\right)}{\left(abc\right)^2}=\frac{\left(c-b\right)\left(a-b\right)\left(a-c\right)}{\left(abc\right)^2}\)
\(\Rightarrow abc=\pm1\).