K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TB
1
22 tháng 6 2021
Đặt P=a2+b2+c2+ab+bc+caP=a2+b2+c2+ab+bc+ca
P=12(a+b+c)2+12(a2+b2+c2)P=12(a+b+c)2+12(a2+b2+c2)
P≥12(a+b+c)2+16(a+b+c)2=6P≥12(a+b+c)2+16(a+b+c)2=6
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
23 tháng 6 2021
Ta có: \(\frac{a^2b^2+7}{\left(a+b\right)^2}=\frac{a^2b^2+1+6}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{2ab+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b\right)^2}\)( cô-si )
\(=\frac{\left(a+b\right)^2+a^2+b^2+2c^2}{\left(a+b\right)^2}=1+\frac{a^2+b^2+2c^2}{\left(a+b\right)^2}\)\(\ge1+\frac{a^2+b^2+2c^2}{2\left(a^2+b^2\right)}=1+\frac{1}{2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}=\frac{3}{2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\)
CMTT \(\Rightarrow\)\(VT\ge\frac{9}{2}+\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\)
\(P=\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}b^2+c^2=x>0\\a^2+c^2=y>0\\a^2+b^2=z>0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2=\frac{y+z-x}{2}\\b^2=\frac{z+x-y}{2}\\c^2=\frac{x+y-z}{2}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow P=\frac{y+z-x}{2x}+\frac{z+x-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\)
\(=\frac{y}{2x}+\frac{z}{2x}-\frac{1}{2}+\frac{z}{2y}+\frac{x}{2y}-\frac{1}{2}+\frac{x}{2z}+\frac{y}{2z}-\frac{1}{2}\)
\(=\left(\frac{y}{2x}+\frac{x}{2y}\right)+\left(\frac{z}{2x}+\frac{x}{2z}\right)+\left(\frac{z}{2y}+\frac{y}{2z}\right)-\frac{3}{2}\)
\(\ge1+1+1-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)( bđt cô si )
\(\Rightarrow VT\ge\frac{9}{2}+\frac{3}{2}=6\) ( đpcm)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
2 tháng 3 2017
\(P=\frac{a^3}{a^2+2b^2}+\frac{b^3}{b^2+2a^2}\)
\(\Leftrightarrow P=a-\frac{2ab^2}{a^2+2b^2}+b-\frac{2a^2b}{b^2+2a^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2+2b^2\ge2\sqrt{2a^2b^2}=2ab\sqrt{2}\\b^2+2a^2\ge2\sqrt{2a^2b^2}=2ab\sqrt{2}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{2ab^2}{a^2+2b^2}\le\frac{2ab^2}{2ab\sqrt{2}}=\frac{b}{\sqrt{2}}\\\frac{2a^2b}{b^2+2a^2}\le\frac{2a^2b}{2ab\sqrt{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-\frac{2ab^2}{a^2+2b^2}\ge a-\frac{b}{\sqrt{2}}\\b-\frac{2a^2b}{b^2+2a^2}\ge b-\frac{a}{\sqrt{2}}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a-\frac{2ab^2}{a^2+2b^2}+b-\frac{2a^2b}{b^2+2a^2}\ge a+b-\left(\frac{a+b}{\sqrt{2}}\right)\)
\(\Rightarrow a-\frac{2ab^2}{a^2+2b^2}+b-\frac{2a^2b}{b^2+2a^2}\ge\frac{\left(2-\sqrt{2}\right)\left(a+b\right)}{2}\)
Ta có \(\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}\ge9\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow9\le\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}\le\frac{a+b+4}{2}\)
\(\Rightarrow9\le\frac{a+b+4}{2}\)
\(\Rightarrow a+b\ge14\)
\(\Rightarrow\frac{\left(2-\sqrt{2}\right)\left(a+b\right)}{2}\ge14-7\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow a-\frac{2ab^2}{a^2+2b^2}+b-\frac{2a^2b}{b^2+2a^2}\ge14-7\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow P\ge14-7\sqrt{2}\)
Vậy GTNN của \(P=14-7\sqrt{2}\)
ML
23 tháng 7 2015
\(M=4x^2-2\left(a+b+c\right)x-\left(ab+bc+ca\right)\)
Thay x, ta có:
\(M=4.\left(\frac{a+b+c}{2}\right)^2-2\left(a+b+c\right).\frac{a+b+c}{2}-\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)^2-\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=-ab-bc-ca\)
2/ Số mũ tùm lum, có lẽ b nên ktra lại đề bài!
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 5 2018
Lời giải:
Vì \(a,b,c\in [-2;5]\) nên:
\(\left\{\begin{matrix} (a+2)(a-5)\leq 0\\ (b+2)(b-5)\leq 0\\ (c+2)(c-5)\leq 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2\leq 3a+10\\ b^2\leq 3b+10\\ c^2\leq 3c+10\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2\leq 3a+10\\ 2b^2\leq 6b+20\\ 3c^2\leq 9c+30\end{matrix}\right. \)
Do đó:
\(a^2+2b^2+3c^2\leq 3(a+2b+3c)+60\)
Mà \(a+2b+3c\leq 2\)
\(\Rightarrow a^2+2b^2+3c^2\leq 3.2+60=66\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(-2,5,-2)\)
(7 + b - 2b)2 - b2 = 21
=> (7 + b - 2b - b)(7+ b - 2b + b) = 21 (Hằng đẳng thức số 3 - lớp 8 học rồi mà chị)...
=> ( - 2b + 7)(2b - 2b + 7) = 21
=> (-2b + 7). 7 = 21
=> -2b + 7 = 3
=> -2b = -4
=> b = 2
(7+b-2b)2-b2=21
<=>(7+b-2b-b)(7+b-2b+b)=21
<=>7(7-2b)=21
<=>7-2b=21
<=>-2b=--14
<=>b=17
h mk nhéNgọc Như Lê Trần