Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta có: \(A=1^3+2^3+3^3+...+100^3\)
\(=\left(1-1\right)\cdot1\cdot\left(1+1\right)+1+\left(2-1\right)\cdot2\cdot\left(2+1\right)+2+...+\left(100-1\right)\cdot100\cdot\left(100+1\right)+100\)
\(=1+2+1\cdot2\cdot3+...+99\cdot100\cdot101\)
\(=5050+25497450\)
\(=25502500\)
\(A=2^3+4^3+6^3+...+100^3\)
\(2^3A=2^3\left(2^3+4^3+6^3+...+100^3\right)\)
\(8A=4^3+6^3+8^3+...+102^3\)
\(8A-A=7A=102^3-2^3\)
\(A=\frac{102^3-2^3}{7}\)
(1/3+1/3^2+1/3^3+1/3^4).3^5+(1/3^5+1/3^6+1/3^7+1/3^8).3^9+.....+(1/3^97+1/3^98+1/3^99+1/3^100).3^101
ính giá trị biểu thức:
(1/3 + 1/3^2 + 1/3^3 + 1/3^4) . 3^5 + (1/3^5 + 1/3^6 + 1/3^7 + 1/3^8) . 3^9 + ... + (1/3^97 + 1/3^98 + 1/3^99 + 1/3^100) . 3^101
Ta có thể thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Nhóm các hạng tử:
Ta có thể nhóm các hạng tử trong biểu thức thành các nhóm có dạng:
(1/3^n + 1/3^(n+1) + 1/3^(n+2) + 1/3^(n+3)) . 3^(n+4)
Với n = 1, 5, 9, ..., 97.
Bước 2: Tính giá trị từng nhóm:
Xét nhóm thứ nhất:
(1/3 + 1/3^2 + 1/3^3 + 1/3^4) . 3^5
= (1/3 + 1/3^2 + 1/3^3 + 1/3^4) . (3^4 . 3)
= (1/3 + 1/3^2 + 1/3^3 + 1/3^4) . 81
Ta có thể sử dụng công thức khai triển tổng của cấp số nhân để tính giá trị trong ngoặc:
1 + 1/3 + 1/3^2 + 1/3^3 = (1 - (1/3)^4) / (1 - 1/3) = 80/81
Do đó, giá trị của nhóm thứ nhất là:
(80/81) . 81 = 80
Tương tự, ta có thể tính giá trị các nhóm tiếp theo:
Giá trị nhóm thứ hai: (80/81) . 3^4 . 81 = 80 . 3^4
Giá trị nhóm thứ ba: (80/81) . 3^8 . 81 = 80 . 3^8
...
Giá trị nhóm thứ 25: (80/81) . 3^96 . 81 = 80 . 3^96
Bước 3: Cộng các giá trị từng nhóm:
Giá trị của biểu thức là tổng giá trị của các nhóm:
80 + 80 . 3^4 + 80 . 3^8 + ... + 80 . 3^96
= 80 (1 + 3^4 + 3^8 + ... + 3^96)
Bước 4: Tính tổng 1 + 3^4 + 3^8 + ... + 3^96:
Đây là một cấp số nhân với số hạng đầu tiên là 1, công bội là 3^4 và có 25 số hạng.
Tổng của cấp số nhân này là:
(1 - (3^4)^25) / (1 - 3^4) = (1 - 3^100) / (1 - 81) = (1 - 3^100) / -80
Bước 5: Thay giá trị và kết luận:
Thay giá trị tổng vào biểu thức, ta được:
80 (1 + 3^4 + 3^8 + ... + 3^96) = 80 . (1 - 3^100) / -80
= (1 - 3^100)
Vậy, giá trị của biểu thức là 1 - 3^100.
Lưu ý:
Kết quả:
Giá trị của biểu thức là 1 - 3^100.
Xét : \(\frac{\left(2n+1\right)^3+n^3}{\left(n+1\right)^3-n^3}=\frac{\left(3n+1\right)\left(4n^2+4n+1+n^2-2n^2-n\right)}{\left(n+1-n\right)\left(n^2+2n+1+n^2-n^2-n\right)}\)
\(=\frac{\left(3n+1\right)\left(3n^2+3n+1\right)}{3n^2+3n+1}=3n+1\)với \(n\in N,n\ge1\)
Áp dụng : \(A=\frac{\left(2.1+1\right)^3+1^3}{\left(1+1\right)^3-1^3}+\frac{\left(2.2+1\right)^3+2^3}{\left(2+1\right)^3-2^3}+...+\frac{\left(2.2006+1\right)^3+2006^3}{\left(2006+1\right)^3-2006^3}\)
\(=\left(3.1+1\right)+\left(3.2+1\right)+...+\left(3.2006+1\right)\)
\(=3\left(1+2+...+2006\right)+2006\)
\(=3.\frac{2006.2007}{2}+2006\)
Tới đây bạn tự tính nhé :)
\(A=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}\right)\cdot3^5+\left(\frac{1}{3^5}+\frac{1}{3^6}+\frac{1}{3^7}+\frac{1}{3^8}\right)\cdot3^9+...+\left(\frac{1}{3^{97}}+\frac{1}{3^{98}}+\frac{1}{3^{99}}+\frac{1}{3^{100}}\right)\cdot3^{101}\)=\(\left(\frac{3^5}{3}+\frac{3^5}{3^2}+\frac{3^5}{3^3}+\frac{3^5}{3^4}\right)+\left(\frac{3^9}{3^5}+\frac{3^9}{3^6}+\frac{3^9}{3^7}+\frac{3^9}{3^8}\right)+...+\left(\frac{3^{101}}{3^{97}}+\frac{3^{101}}{3^{98}}+\frac{3^{101}}{3^{99}}+\frac{3^{101}}{3^{100}}\right)\)
=(3+32+33+34)+(3+32+33+34)+...+(3+32+33+34)
Tổng trên có số số hạng là(mỗi ngoặc là 1 số hạng)
(101-5):4+1=25(số hạng)
=>A=25.(3+32+33+34)=25.120=3000
\(=\dfrac{3+3^5+3^9}{\left(3+3^5+3^9\right)+\left(3^3+3^7+3^{11}\right)}=\dfrac{3+3^5+3^9}{\left(3+3^5+3^9\right)+3^2\left(3+3^5+3^9\right)}\)
\(=\dfrac{\left(3+3^5+3^9\right)}{\left(3+3^5+3^9\right)\left(1+3^2\right)}=\dfrac{1}{1+9}=\dfrac{1}{10}\)
