K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NH
1
DT
23 tháng 4 2019
giả sử bất đẳng thức đã cho đúng khi đó\(\frac{a^2+b^2}{2}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2^2}\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b^{ }\right)^2\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+2ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
Vì bất đẳng thức cuối luôn đúng với mọi a, b nên bất đảng thức đầu đúng => đpcm
DK
1
PN
30 tháng 8 2020
Chia cả 2 vế của giả thiết cho a,b,c ta được :
\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\leftrightarrow\)khi đó bài toán trở thành :
\(xy+yz+zx+x+y+z=6\)
Chứng minh rằng \(x^2+y^2+z^2\ge3\)
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\hept{\begin{cases}x^2+1\ge2\sqrt{x^2}=2x\\y^2+1\ge2\sqrt{y^2}=2y\\z^2+1\ge2\sqrt{z^2}=2z\end{cases}}< =>x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)(*)
Tiếp tục sử dụng AM-GM ta có :
\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\\y^2+z^2\ge2\sqrt{y^2z^2}=2yz\\z^2+x^2=2\sqrt{z^2x^2}=2zx\end{cases}< =>2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge}2\left(xy+yz+zx\right)\)(**)
Cộng theo vế bất đẳng thức (*) và (**) ta được :
\(3\left(x^2+y^2+z^2+1\right)\ge2\left(xy+yz+zx+x+y+z\right)=2.6=12\)
\(< =>x^2+y^2+z^2+1\ge\frac{12}{3}=4< =>x^2+y^2+z^2\ge3\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1< =>a=b=c=1\)
NH
3
23 tháng 2 2019
\(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\ge2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2+\frac{1}{a^2}+b^2+\frac{1}{b^2}+2\ge2\)
<=> Sai đề
19 tháng 8 2017
a) (a2 +2ab +b2)-(a2-2ab+b2)= a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=2ab+2ab=4ab
b) \(a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=a^2+b^2+a^2+b^2=2a^2+2b^2=2\left(a^2+b^2\right)\)
c)\(a^2+2ab+b^2-4ab=a^2-2ab+b^2=\left(a-b\right)^2\)
LD
0
KN
11 tháng 2 2020
a) \(bđt\Leftrightarrow a^2+2a< a^2+2a+1\)
\(\Rightarrow0< 1\)(luôn đúng)
b) \(bđt\Leftrightarrow m^2+n^2+2-2m-2n\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m^2-2m+1\right)+\left(n^2-2n+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2+\left(n-1\right)^2\ge0\)(đúng)
Dấu "=" khi m = n = 1
c) Áp dụng bđt cô - si với 2 số không âm:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)
Dấu "=" khi a = b
2(a^2+b^2)=(a+b)^2
2a2+2b2=a2+b2+2ab
2a2+2b2-a2-b2-2ab=0
a2-2ab+b2=0
(a-b)2=0
a-b=0
Suy ra a=b(ĐPCM)