Question

[Ly Trần]

1.Giải và biện luận bất phương trình:
\(\sqrt{x-m}\) - \(\sqrt{x-2m}\) > \(\sqrt{x-3m}\)
2. Tìm m để bpt sau có nghiệm:
x - m ≤ \(\sqrt{x+m}\)

* Giúp mình ạ ><

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

a/ \(\sqrt{x-m}>\sqrt{x-2m}+\sqrt{x-3m}\)

\(\Leftrightarrow x-m>2x-5m+2\sqrt{\left(x-2m\right)\left(x-3m\right)}\)

\(\Leftrightarrow4m-x>2\sqrt{\left(x-2m\right)\left(x-3m\right)}\)

- Với \(m\le0\) BPT vô nghiệm

- Với \(m>0\) \(\Rightarrow3m< x< 4m\)

Bình phương 2 vế:

\(x^2-8mx+16m^2>4\left(x^2-5mx+6m^2\right)\)

\(\Leftrightarrow3x^2-12mx+8m^2< 0\)

\(\Rightarrow\frac{6-2\sqrt{3}}{3}m< x< \frac{6+2\sqrt{3}}{3}m\)

Kết hợp \(3m< x< 4m\Rightarrow3m< x< \frac{6-2\sqrt{3}}{3}m\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

b/ Đặt \(\sqrt{x+m}=t\ge0\Rightarrow x=t^2-m\)

BPT trở thành: \(t^2-2m\le t\Leftrightarrow t^2+t\le2m\)

Ta thấy hàm số \(y=t^2+t\) đồng biến trên \([0;+\infty)\) do \(a=1\) dương và \(-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}< 0\)

\(\Rightarrow y\ge y\left(0\right)=0\)

Vậy:

- Với \(m< 0\) BPT vô nghiệm

- Với \(m\ge0\) ta có nghiệm dương của pt \(t^2+t-2m=0\) là \(\frac{-1+\sqrt{8m+1}}{2}\)

\(\Rightarrow\) Nghiệm của BPT là \(t\in\left[0;\frac{-1+\sqrt{8m+1}}{2}\right]\) hay \(x\in\left[-m;\frac{2m+1-\sqrt{8m+1}}{2}\right]\) với \(m\ge0\)