Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Để câu trả lời của bạn nhanh chóng được duyệt và hiển thị, hãy gửi câu trả lời đầy đủ và nên:
- Yêu cầu, gợi ý các bạn khác chọn (k) đúng cho mình
- Chỉ ghi đáp số mà không có lời giải, hoặc nội dung không liên quan đến câu hỏi
bài 2 thì bạn áp dụng bdt cô si với lựa chọn điểm rơi hoặc bdt holder ( nó giống kiểu bunhia ngược ) . bai 1 thi ap dung cai nay \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>=\frac{1}{x+y}\) câu 1 khó hơn nhưng bạn biết lựa chọn điểm rơi với áp dụng bdt phụ kia là ok .
Bài 1:Đặt VT=A
Dùng BĐT \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\Rightarrow\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)x,y,z>0\)
Áp dụng vào bài toán trên với x=a+c;y=b+a;z=2b ta có:
\(\frac{ab}{a+3b+2c}=\frac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}\le\frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)\)
Tương tự với 2 cái còn lại
\(A\le\frac{1}{9}\left(\frac{bc+ac}{a+b}+\frac{bc+ab}{a+c}+\frac{ab+ac}{b+c}\right)+\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)+\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)=\frac{a+b+c}{6}\)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c
Bài 2:
Biến đổi BPT \(4\left(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\right)\ge3\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{3}{4}\)
Dự đoán điểm rơi xảy ra khi a=b=c=1
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\ge\frac{3a}{4}\)
Tương tự suy ra
\(VT\ge\frac{2\left(a+b+c\right)-3}{4}\ge\frac{2\cdot3\sqrt{abc}-3}{4}=\frac{3}{4}\)
Keke
\(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\ge\frac{3}{a+b}+\frac{18}{3b+4c}+\frac{9}{c+6a}\) \(\left(i\right)\)
Đặt \(x=\frac{1}{a};\) \(y=\frac{2}{b};\) và \(z=\frac{3}{c}\) \(\Rightarrow\) \(\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{x}\\b=\frac{2}{b}\\c=\frac{3}{z}\end{cases}}\) nên \(x,y,z>0\)
Khi đó, ta có thể biểu diễn lại bđt \(\left(i\right)\) dưới dạng ba biến \(x,y,z\) như sau:
\(x+y+z\ge\frac{3xy}{2x+y}+\frac{3yz}{2y+z}+\frac{3xz}{2z+x}\) \(\left(ii\right)\)
Lúc này, ta cần phải chứng minh bđt \(\left(ii\right)\) luôn đúng với mọi \(x,y,z>0\)
Thật vậy, ta có:
\(2x+y=x+x+y\ge3\sqrt[3]{x^2y}\)
\(\Rightarrow\) \(\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{3xy}{3\left(x^2y\right)^{\frac{1}{3}}}=\left(xy^2\right)^{\frac{1}{3}}\le\frac{x+2y}{3}\) \(\left(1\right)\)
Thiết lập các bđt còn lại theo vòng hoán vị \(y\rightarrow z\rightarrow x\) , ta có:
\(\frac{3yz}{2y+z}\le\frac{y+2z}{3}\) \(\left(2\right);\) \(\frac{3xz}{2z+x}\le\frac{z+2x}{3}\) \(\left(3\right)\)
Cộng từng vế ba bđt \(\left(1\right);\) \(\left(2\right);\) và \(\left(3\right)\) ta được:
\(VP\left(ii\right)\le\frac{x+2y+y+2z+z+2x}{3}=\frac{3\left(x+y+z\right)}{3}=x+y+z=VT\left(ii\right)\)
Vậy, bđt \(\left(ii\right)\) được chứng minh.
nên kéo theo bđt \(\left(i\right)\) luôn là bđt đúng với mọi \(a,b,c>0\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z\) \(\Leftrightarrow\) \(6a=3b=2c\)
2a²/(a-b) + b²/(b-c) = (2a²-2b²)/(a-b) + (b²-c²)/(b-c) + 2b²/(a-b) + c²/(b-c)
= 2(a+b) + (b+c) + 2b²/(a-b) + c²/(b-c)
>2a +3b +c (vì a,b,c > 0)
\(\frac{1}{3a+2b+c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\right)\) )cái này bn tự cm nha bằng hệ quả của bunhia
tương tự :\(\frac{1}{3b+2c+a}\le\frac{1}{36}\left(\frac{3}{b}+\frac{2}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(\frac{1}{3c+2a+b}\le\frac{1}{36}\left(\frac{3}{c}+\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Công tất cả các vế vs nhau:\(\frac{1}{3a+2b+c}+\frac{1}{3b+2c+a}+\frac{1}{3c+2a+b}\le\frac{1}{36}\left(\frac{6}{a}+\frac{6}{b}+\frac{6}{c}\right)\)=1/36 x96=8/3
à còn phần mik dùng bunhia sao ra dc thế nè :\(\frac{1}{3a+2b+c}=\frac{1}{a+a+a+b+b+c}\)
\(=\frac{1}{36}\left(\frac{36}{a+a+a+b+b+c}\right)\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)\(=\frac{1}{36}\left(\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Ta có:
\(\frac{\sqrt{5abc}}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{\sqrt{5abc}}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{\sqrt{5abc}}{c\sqrt{3c+2a}}\)
\(=\frac{5bc}{\sqrt{5ab\left(3ac+2bc\right)}}+\frac{5ac}{\sqrt{5bc\left(3ba+2ca\right)}}+\frac{5ab}{\sqrt{5ca\left(3cb+2ab\right)}}\)
\(\ge\frac{10bc}{5ab+3ac+2bc}+\frac{10ac}{5bc+3ba+2ca}+\frac{10ab}{5ca+3cb+2ab}\)
Đặt \(ab=x,bc=y,ca=z\)(cho dễ nhìn)
\(=\frac{10x}{2x+3y+5z}+\frac{10y}{2y+3z+5x}+\frac{10z}{2z+3x+5y}\)
\(=\frac{10x^2}{2x^2+3yx+5zx}+\frac{10y^2}{2y^2+3zy+5xy}+\frac{10z^2}{2z^2+3xz+5yz}\)
\(\ge\frac{10\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{5\left(x+y+z\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)+4\left(xy+yz+zx\right)}\)
Giờ ta cần chứng minh
\(\frac{5\left(x+y+z\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)+4\left(xy+yz+zx\right)}\ge3\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)(đúng)
Vậy ta có ĐPCM
alibaba nguyễn bạn trả lời đúng đấy! Nhưng để dễ hiểu hơn ta nên áp dụng tổ hợp BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz nhé!
B3 mk tìm đc cách giải r nhưng bạn nào muốn thì trả lời cg đc
Các bạn giải giúp mình B2 và B5 nhé. Mấy bài kia mình giải được rồi.