Question

[Neet]

1)cho các số dương a,b,c .thỏa mãn \(5x^2+2xyz+4y^2+3z^2=60\).tìm MIn của x+y+z

2)cho x,y là các số dương .tìm Min

\(A=\sqrt{\dfrac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\dfrac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)

3) cho a,b,c không âm thỏa \(a^3+b^3+c^3-3abc=1\)

cm \(x^2+y^2+z^2\ge1\)

Answer 1

[Hung nguyen]

Câu 1/

Đặt cái cần tìm là \(P=x+y+z\)

Ta có \(5x^2+2xyz+4y^2+3z^2=60\)

\(\Rightarrow3z^2< 60\)

\(\Rightarrow0< z< 2\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}20-z^2>0\\9-2z>0\\P-z>0\end{matrix}\right.\)

Thay \(x=P-y-z\) vào điều kiện ban đầu ta được.

\(5\left(P-y-z\right)^2+2yz\left(P-y-z\right)+4y^2+3z^2=60\)

\(\Leftrightarrow\left(9-2z\right)y^2-2\left(P-z\right)\left(5-z\right)y+5\left(P-z\right)^2+3\left(z^2-20\right)=0\)

Để PT theo nghiệm y có nghiệm thì

\(\Delta'=\left(P-z\right)^2\left(5-z\right)^2-\left(9-2z\right)\left[5\left(P-z\right)^2+3\left(z^2-20\right)\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(z^2-20\right)\left[\left(P-z\right)^2+6z-27\right]\ge0\)

\(\Rightarrow\left(P-z\right)^2+6z-27\le0\)

\(\Rightarrow P\le z+\sqrt{27-6z}\le6\) (cái này chỉ cần chuyển z qua VP rồi bình phương 2 vế là thấy liền nhé.

Vậy \(MaxP=6\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\\z=3\end{matrix}\right.\)

Answer 2

[Hung nguyen]

Câu 3/ Dễ thấy a, b, c không thể đồng thời bằng 0 được.

Ta chứng minh: \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\ge\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\left(3a^2+3b^2+3c^2-2\left(ab+bc+ca\right)\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2+a^2+b^2+c^2\right]\ge0\) (đúng)

Từ đây ta suy ra \(a^2+b^2+c^2\ge1\)

Dấu = xảy ra khi \(\left(a,b,c\right)=\left(1,0,0;0,1,0;0,0,1\right)\)

PS: Vì không chứng minh được \(x^2+y^2+z^2\ge1\) nên mình chứng minh \(a^2+b^2+c^2\ge1\) nhé.