Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, Ta có:
\(3^{2n+1}+2^{n+2}=9^n.3+2^n.4\)
\(=9^n.3-2^n.3+2^n.7=3\left(9^n-2^n\right)+2^n.7\)
Ta lại có:
\(9^n-2^n⋮9-2=7;2n.7⋮7\)
\(\Rightarrow3^{2n+1}+2^{n+2}⋮7\left(dpcm\right)\)
a) Giải:
Đặt \(A_n=11^{n+2}+12^{2n+1}\)\((*)\) Với \(n=0\) ta có:
\(A_0=11^2+12^1=133\) \(⋮133\Rightarrow\) \((*)\) đúng
Giả sử \((*)\) đúng đến giá trị \(k=n\) tức là:
\(B_k=11^{k+2}+12^{2k+1}\) \(⋮133\left(1\right)\)
Xét \(B_{k+1}-B_k\)
\(=11^{k+1+2}+12^{2\left(k+1\right)+1}-\left(11^{k+2}+12^{2k+1}\right)\)
\(=11^{k+3}-11^{k+2}+12^{2k+3}-12^{2k+1}\)
\(=10.11^{k+2}+143.12^{2k+1}\)
\(=10.121.11^k+143.12.144^k\)
\(\equiv\) \(10.121.11^k+10.12.11^k\)
\(\equiv\) \(10.11^k\left(121+12\right)\) \(\equiv\) \(0\left(mod133\right)\)
Theo giả thiết quy nạy \(\left(1\right)\) ta có: \(B_k⋮133\Leftrightarrow B_{k+1}⋮133\)
Hay \((*)\) đúng với \(n=k+1\) \(\Rightarrow\) Đpcm
a/ \(n^2+2n+7⋮n+2\)
Mà \(n+2⋮n+2\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^2+2n+7⋮n+2\\n^2+2n⋮n+2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow7⋮n+2\)
\(\Leftrightarrow n+2\inƯ\left(7\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n+2=1\\n+2=7\\n+2=-1\\n+2=-7\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=-1\\n=5\\n=-3\\n=-9\end{matrix}\right.\)
Vậy ....
b/ \(n^2+1⋮n-1\)
Mà \(n-1⋮n-1\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^2+1⋮n-1\\n^2-1⋮n-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow2⋮n-1\)
\(\Leftrightarrow n-1\inƯ\left(2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n-1=1\\n-1=2\\n-1=-1\\n-1=-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=2\\n=3\\n=0\\n=-1\end{matrix}\right.\)
Vậy ....
\(n^2+1⋮n-1\)
Mà \(n-1⋮n-1\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^2+1⋮n-1\\n^2-n⋮n-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow n+1⋮n-1\)
Mà \(n-1⋮n-1\)
\(\Leftrightarrow2⋮n-1\)
\(\Leftrightarrow n-1\inƯ\left(2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n-1=1\\n-1=2\\n-1=-1\\n-1=-2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=2\\n=3\\n=0\\n=-1\end{matrix}\right.\)
Vậy ...