Question

[Thái Viết Nam]

154. Cho a,b,c là ba số thực thỏa mãn điều kiện a+b+c=0

Chứng minh: \(ab+bc+ca\le0\)

Answer 1

[Nguyễn Thị Huyền Trang]

Ta có: \(a+b+c=0\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=0\)

\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)+2.\left(ab+ac+bc\right)=0\)

Do \(a^2+b^2+c^2\ge0\) với mọi x \(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)+2.\left(ab+ac+bc\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2.\left(ab+ac+bc\right)\le0\Rightarrow ab+ac+bc\le0\)

Vậy nếu a,b,c là 3 số thực thỏa mãn a+b+c=0 thì \(ab+ac+bc\le0\)

Answer 2

[Võ Nhật Hoàng]

Ta luôn luôn có:

(a+b+c)²\(\ge\)3(ab+bc+ac)\(\ge\)ab+bc+ac (vì \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\))(*)

Từ (*) suy ra: 0 > ab+bc+ac (đpcm)