Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ai biết cách làm thì nhanh tay giải giùm mình nhé!!!!!!!!!!!!
mk đang cần gấp....<3<3<3<3<3<3
\(n^3+100=n^2.\left(n+10\right)-10n^2+100\)
\(=n^2.\left(n+10\right)-10n.\left(n+10\right)+100n+100\)
\(=n^2.\left(n+10\right)-10n.\left(n+10\right)+100.\left(n+10\right)-900\)
\(=\left(n+10\right).\left(n^2-10n+100\right)-900\)
Để n3+100 chia hết cho n+10 => -900 chia hết cho n+10 => n+10 thuộc Ư(900)
Vì n lớn nhất => n+10 lớn nhất => n+10=900 => n=890
Vậy n=890
Xét a là một số tự nhiên bất kỳ. Dễ thấy, nếu a chia hết cho 3 => a3 chia hết cho 9 (1)
Xét: \(a\equiv1\left(mod9\right)\Rightarrow a^3\equiv1\left(mod9\right)\)(2)
\(a\equiv2\left(mod9\right)\Rightarrow a^3\equiv8\left(mod9\right)\)(3)
\(a\equiv4\left(mod9\right)\Rightarrow a^3\equiv64\equiv1\left(mod9\right)\)(4)
\(a\equiv5\left(mod9\right)\Rightarrow a^3\equiv125\equiv8\left(mod9\right)\)(5)
\(a\equiv7\left(mod9\right)\Rightarrow a^3\equiv343\equiv1\left(mod9\right)\)(6)
\(a\equiv8\left(mod9\right)\Rightarrow a^3\equiv512\equiv8\left(mod9\right)\)(7)
Từ (1),(2),(3),(4),(5),(6),(7) => lập phương của 1 số nguyên bất kỳ khi chia cho 9 có số dư là 0,1,8
Dễ thấy: để a3+b3+c3 chia hết cho 9 => 1 trong 3 số a,b,c hoặc cả 3 số a,b,c phải chia hết cho 3 =>
=> abc chia hết cho 3. Vậy a3+b3+c3 chia hết cho 9 thì abc chia hết cho 3
\(\frac{bc}{a^2+1}=\frac{bc}{a^2+b^2+a^2+c^2}\le\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b^2c^2}{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+c^2\right)}}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\right)\)
Tương tự:
\(\frac{ac}{b^2+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{b^2+c^2}\right)\) ; \(\frac{ab}{c^2+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}+\frac{c^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\right)=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Sửa lại đề : CM : \(\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{c^2+a^2}\le\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+3\)
Ta có :
\(\frac{1}{b^2+c^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{b^2+c^2}=\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{b^2+c^2}=1+\frac{a^2}{b^2+c^2}\)
Mà \(b^2+c^2\ge2bc\) nên \(\frac{1}{b^2+c^2}\le1+\frac{a^2}{2bc}\)(1)
CM tương tự ta cũng có : \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a^2+b^2}\le1+\frac{c^2}{2ab}\left(2\right)\\\frac{1}{c^2+a^2}\le1+\frac{b^2}{c^2+a^2}\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng vế với vế của (1);(2);(3) tại ta được :
\(\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{c^2+a^2}\le\frac{a^2}{2bc}+\frac{c^2}{2ab}+\frac{b^2}{2ac}+3=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+3\)
=> đpcm
b) \(\left(1+a\right).\frac{1}{1+b^2}=\left(1+a\right)\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\)
\(\ge\left(1+a\right)\left(1-\frac{b^2}{2b}\right)=1+a-\frac{ab+b}{2}\)
Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế được:
\(VT\ge6-\frac{ab+bc+ca+3}{2}\ge6-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+3}{2}\)
\(=6-\frac{3+3}{2}=3^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
1. Ta có: 4n3 + n + 3 \(⋮\) 2n2 + n + 1
\(\Rightarrow\) (4n3 + 2n2 + 2n) - (2n2 + n + 1) + 4 \(⋮\) 2n2 + n + 1
\(\Rightarrow\) 2n(2n2 + n + 1) - (2n2 + n + 1) + 4 \(⋮\) 2n2 + n + 1
\(\Rightarrow\) 4 \(⋮\) 2n2 + n + 1
Khi đó 2n2 + n + 1 là ước của 4.
Quan trọng là phần tiêp theo chứ ạ!!!
