Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(a+b=x\) , \(ab=y\)
Ta có biểu thức cần rút gọn :
\(\frac{1}{x^3}.\frac{x\left(x^2-3y\right)}{y^3}+\frac{3}{x^4}.\frac{x^2-2y}{y^2}+\frac{6}{x^5}.\frac{x}{y}=\frac{x^4-3x^2y+3yx^2-6y^2+6y^2}{x^4y^3}=\frac{x^4}{x^4y^3}=\frac{1}{y^3}=\frac{1}{a^3b^3}\)
Theo đề bài ta có
\(a\left(1-a\right)\left(1-b\right)\ge0\)=> \(a^2b\ge a^2+ab-a\)
\(b\left(1-c\right)\left(1-b\right)\ge0\)=> \(b^2c\ge b^2+bc-b\)
Tương tự \(c^2a\ge c^2+ac-c\)
Khi đó
\(VT\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-\left(a+b+c\right)=2^2-2=2\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=1,c=0\)và các hoán vị
\(VT\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(2ab+a+b\right)}\)
\(\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+a+b\right)}\)
\(\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(\frac{2^2}{2}+2\right)}=2\sqrt{2}\)
Dấu "=" khi \(a=b=1\)
a) \(\frac{b-16}{4-\sqrt{b}}\left(b\ge0,b\ne16\right)\)
\(=\frac{\left(\sqrt{b}-4\right)\left(\sqrt{b}+4\right)}{4-\sqrt{b}}\)
\(=-\sqrt{b}-4\)
b) \(\frac{a-4\sqrt{a}+4}{a-4}\left(a\ge0;a\ne4\right)\)
\(=\frac{a-2.\sqrt{a}.2+4}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}-2\right)^2}{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}=\frac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}+2}\)
c) \(2x+\sqrt{1+4x^2-4x}\) với \(x\le\frac{1}{2}\)
\(=2x+\sqrt{\left(1-2x\right)^2}\)
\(=2x+\left|1-2x\right|=2x+1-2x=1\)
d) \(\frac{4a-4b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\left(a,b\ge0;a\ne b\right)\)
\(=\frac{4\left(a-b\right)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{4\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
\(=4\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
Áp dụng BĐT Cô-si , ta có :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)(đpcm)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
Dòng thứ 5 nhầm dấu ạ :D Sửa :
\(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
(đpcm)
Giả sử: \(|A+B|\) > \(|A|\) + \(|B|\)
<=> \(\left(|A+B|\right)^2\) > \(\left(|A|+|B|\right)^2\)
<=> \(A^2\) + \(2AB\) + \(B^2\) > \(A^2\) + \(2|AB|\) + \(B^2\)
<=> 2AB > \(2|AB|\)
<=> AB > \(|AB|\) (Vô lí)
=> Bất đẳng thức \(|A+B|\) \(\le\) \(|A|\) + \(|B|\) đúng.
Dấu "=" xảy ra khi AB \(\ge\) 0