Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Xét tam giác ABH vuông tại H ta có:
\(AH^2=AB^2-BH^2\)
Xét tam giác CHD vuông tại H ta có:
\(CH^2=CD^2-HD^2\)
Xét (O) ta có:
Tam giác ABD nội tiếp (O)
BD là đường kính
=> Tam giác ABD vuông tại D
=> \(AB^2+AD^2=BD^2\)
Ta có:
\(HA^2+HB^2+HC^2+HD^2=AB^2-HB^2+CD^2-HD^2=AB^2+CD^2\)
Mà \(CD=AD\) ( dễ chứng minh )
Nên \(HA^2+HB^2+HC^2+HD^2=AB^2+AD^2\)ư
MÀ \(AB^2+AD^2=BD^2\)
Nên \(HA^2+HB^2+HC^2+HD^2=BD^2\)
Do BD cố định nên \(HA^2+HB^2+HC^2+HD^2=BD^2\) không đổi
a) Vì C, D thuộc nửa đường tròn đường kính AB nên
A C B = A D B = 90 o ⇒ F C H = F D H = 90 o ⇒ F C H + F D H = 180 o
Suy ra tứ giác CHDF nội tiếp
b) Vì AH ⊥ BF, BH ⊥ AF nên H là trực tâm ∆ AFB ⇒ FH ⊥ AB
⇒ C F H = C B A ( = 90 o − C A B ) ⇒ Δ C F H ~ Δ C B A ( g . g ) ⇒ C F C B = C H C A ⇒ C F . C A = C H . C B
Lời giải:
a)
$\widehat{ABD}=\widehat{DCA}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)
$\Leftrightarrow \widehat{ABE}=\widehat{DCE}=90^0$
Tứ giác $ABEH$ có tổng 2 góc đối $\widehat{ABE}+\widehat{AHE}=90^0+90^0=180^0$ nên là tứ giác nội tiếp.
Tứ giác $DCEH$ có tổng 2 góc đối $\widehat{DCE}+\widehat{EHD}=90^0+90^0=180^0$ nên là tứ giác nội tiếp.
b)
Từ 2 tứ giác nội tiếp phần a, kết hợp với $ABCD$ là tứ giác nội tiếp, ta có:
\(\widehat{HBE}=\widehat{EAH}=\widehat{CAD}=\widehat{CBD}=\widehat{CBE}\) nên $BE$ là tia phân giác $\widehat{HBC}$
\(\widehat{HCE}=\widehat{EDH}=\widehat{BDA}=\widehat{BCA}=\widehat{BCE}\) nên $CE$ là tia phân giác $\widehat{BCH}$
Do đó $E$ chính là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $BCH$
c) Sử dụng tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền. Suy ra $IH=IC=EI=ID$.
Ta có:
\(\widehat{IHD}=\widehat{IDH}=\widehat{ODB}=\widehat{OBD}=\widehat{OBI}\) nên $OBIH$ là tứ giác nội tiếp $(1)$
Mặt khác:
$\widehat{HIC}=\widehat{HIB}+\widehat{CIB}$
$=2\widehat{IDH}+2\widehat{CDI}$
$=2\widehat{HDC}=2\widehat{ADC}=2(90^0-\widehat{CAD})$
$=180^0-2\widehat{CBE}=180^0-\widehat{CBH}$
$\Rightarrow BHIC$ là tứ giác nội tiếp $(2)$
Từ $(1);(2)$ suy ra đpcm.
a ) Theo định lí Py - ta - go
\(HA^2+HB^2=AB^2;HC^2+HB^2=BC^2;HC^2+HD^2=CD^2;HA^2+HD^2=AD^2\)
\(\Rightarrowđpcm\)
b ) Tứ giác \(HPBS\)nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{HPS}=\widehat{HBS}=\widehat{DBC}\)
Tứ giác HPAQ là hình chữ nhật \(\Rightarrow\widehat{HPQ}=\widehat{HAQ}=\widehat{CAD}=\widehat{CBD}\)
Do đó : \(\widehat{SPQ}=\widehat{HPS}+\widehat{HPQ}=2\widehat{CBC}\)
Tương tư : \(\widehat{SQR}=2\widehat{BDC}\)
Do đó : \(\widehat{DBC}+\widehat{BDC}=180^0\)
\(\Leftrightarrow\widehat{SPQ}+\widehat{SRQ}=180^0\) nên tứ giác PQRS nội tiếp ( đ/lí
đảo)
Chúc bạn học tốt !!!